等差数列的性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(　　)A．5　　　　B．6　　　　C．8　　　　D．10A　[由a1＋a9＝2a5＝10得a5＝5，故选A．]2．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝(　　)A．14B．21C．28D．35C　[由题意可知a3＋a4＋a5＝3a4＝12，即a4＝4，又a1＋a2＋…＋a7＝3(a1＋a7)＋a4＝7a4，∴a1＋a2＋…＋a7＝7×4＝28，故选C．]3．在数列{an}中＝＋且a2020＝，a2022＝，则a2023＝(　　)A．B．C．D．3C　[由＝＋知，数列是等差数列，则其公差d＝＝．因此＝＋d＝＋＝3，所以a2023＝．故选C．]4．下列说法中正确的是(　　)A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列C　[由a，b，c成等差数列知2b＝a＋c，所以2(b＋2)＝a＋2＋c＋2，所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．]5．在古老的数学著作中，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的1份为(　　)A．B．C．D．A　[设五个人分得的面包为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d(d>0)，则(a－2d)＋(a－d)＋5 a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝100，∴a＝20，由(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d得3a＋3d＝7(2a－3d)，∴24d＝11a，∴d＝，∴最小的一份为a－2d＝20－＝．故选A．]二、填空题6．方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为________．－3　[设方程x2＋6x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－6，所以x1，x2的等差中项为A＝＝－3．]7．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝________．100　[∵{an}，{bn}都是等差数列，∴{an＋bn}也是等差数列．又∵a1＋b1＝100，a2＋b2＝100，∴an＋bn＝100，故a37＋b37＝100．]8．已知数阵中，每行、每列的四个数均成等差数列，如果数阵中a12＝2，a31＝1，a34＝7，那么a32＝__________，a22＝__________．3　　[设第三行的四个数的公差为d3，由a31＝1，a34＝7，得d3＝＝2，所以a32＝1＋2＝3．因为第二列的四个数成等差数列，所以a22是a12，a32的等差中项，所以a22＝＝＝．]三、解答题9．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．[解]　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1．又四个数成递增等差数列，∴d＝1．故所求的四个数为－2，0，2，4．10．(1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8的值；(2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a135 的值．[解]　(1)法一：根据等差数列的性质a2＋a10＝a4＋a8＝2a6，由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，解得a6＝，∴a4＋a8＝2a6＝．法二：设公差为d，根据等差数列的通项公式，得a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d，由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝．∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝．(2)设公差为d，∵a1＋a3＝2a2，∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，∴a2＝5．又a1a2a3＝80，{an}是公差为正数的等差数列，∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16⇒d＝3或d＝－3(舍去)，∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105．1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为(　　)A．99　　　B．131　　　C．139　　　D．141D　[设该高阶等差数列的第8项为x，根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得，则．故选D．]2．(多选题)设{an}是等差数列，则下列结论中错误的是(　　)A．若a1＋a2>0，则a2＋a3>0B．若a1＋a3<0，则a1＋a2<05 C．若0<a1<a2，则a2>D．若a1<0，则(a2－a1)(a2－a3)>0ABD　[若等差数列是an＝5－3n，满足a1＋a2＝2＋(－1)＝1>0，但a2＋a3＝(－1)＋(－4)＝－5<0，A错误；an＝5－3n也满足a1＋a3＝2＋(－4)＝－2<0，但a1＋a2＝2＋(－1)＝1>0，B错误；若0<a1<a2，则a2＝>，C正确；设等差数列{an}的公差为d，则(a2－a1)(a2－a3)＝－d2≤0，D错误．故选ABD．]3．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝__________．　[设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列，则a1＋a4＝a2＋a3＝2，再设此等差数列的公差为d，则2a1＋3d＝2，∵a1＝，∴d＝，∴a2＝＋＝，a3＝＋1＝，a4＝＋＝．∴|m－n|＝|a1a4－a2a3|＝＝．]4．在数列{an}中，a2＝2，a6＝0，且数列是等差数列，则a4＝________，an＝________．　　[由题意可知＝＋，解得a4＝．又＝＋(n－2)×＝，∴an＝－1＝．]在数列{an}中，已知a1＝5，且an＝2an－1＋2n－1(n≥2，且n∈N＋)．(1)求a2，a3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．5 [解]　(1)因为a1＝5，所以a2＝2a1＋22－1＝13，a3＝2a2＋23－1＝33．(2)假设存在实数λ，使得数列为等差数列，则，，成等差数列，所以2×＝＋，即＝＋．解得λ＝－1．当λ＝－1时，－＝[(an＋1－1)－2(an－1)]＝(an＋1－2an＋1)＝[(2an＋2n＋1－1)－2an＋1]＝×2n＋1＝1．综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列为等差数列．5