第二章　等式与不等式本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知x∈R,A=2x2+2x,B=x2+x-1,则A与B的大小关系是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.A=BB.A>BC.A<BD.无法判定2.不等式(x-1)·x+2≥0的解集是(　　)A.{x|x>1}B.{x|x≥1}C.{x|x≥1或x=-2}D.{x|x≤-2或x=1}3.已知a,b,c是△ABC的三条边的长,且满足a2+bc=b2+ac,则△ABC一定是(　　)A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形4.若不等式组x+5<5x+1,x-m>1的解集是{x|x>1},则m的取值范围是(　　)A.m≥1B.m≤1C.m≥0D.m≤05.若a>b>0,则下列不等式中一定成立的是(　　)A.ba>b+1a+1B.a+1a>b+1bC.a+1b>b+1aD.2a+ba+2b>ab6.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为x8天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品(　　)A.60件B.80件C.100件D.120件7.若两个正实数x,y满足1x+4y=1,且不等式x+y4<m2-3m有解,则实数m的取值范围是(　　)A.(-1,4)B.(-∞,-1)∪(4,+∞)C.(-4,1)D.(-∞,0)∪(3,+∞)13 8.已知正数a,b满足a+b=4,则1a+1+1b+3的最小值为(　　)A.1B.2C.4D.12二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)9.已知a<b<|a|,则(　　)A.1a>1bB.ab>1C.a2>b2D.a2>ab10.若x2+xy-2y2=0,则x2+3xy+y2x2+y2的值可以为(　　)A.-52B.-15C.15D.5211.给出下列四个条件:①xt2>yt2;②xt>yt;③x2>y2;④0<1x<1y.其中能成为x>y的充分条件的是(　　)A.①B.②C.③D.④12.若正实数a,b满足a+b=1,则下列说法正确的是(　　)A.ab≥14B.a+b≥2C.1a+1b≥4D.a2+b2≥12三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是　　　　　. 14.阅读理解:(1)特例运算:①(x+1)(x+2)=　　　　　　　, ②(x+3)(x-1)=　　　　　　　; (2)归纳结论:(x+a)(x+b)=x2+(　　　)x+　　　; (3)尝试运用:直接写出计算结果(m+99)(m-100)=　　　　　　　; (4)解决问题:根据你的理解,把下列多项式因式分解:①x2-5x+6=　　　　　　　, ②x2-3x-10=　　　　　　　; (5)拓展延伸:若x2+px-8可分解为两个一次因式的积,则整数p的所有可能值是　　　　　　　. 13 15.某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全,要求60≤x≤120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为15x-k+4500xL,其中k为常数.当汽车以120km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5L,欲使每小时的油耗不超过9L,则速度x的取值范围为　　　　. 16.在实数集R中定义一种运算“*”,具有性质:(1)对任意a,b∈R,a*b=b*a;(2)对任意a∈R,a*0=a;(3)对任意a,b∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(b*c)-5c.则函数y=x*1x(x>0)的最小值为　　　　.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)把几个图形拼成一个新的图形,再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积,可以得到一个等式,也可以求出一些不规则图形的面积.例如,由图1可得等式:(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.(1)如图2,将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为(a+b+c)的正方形,试用不同的形式表示这个大正方形的面积,你能发现什么结论?请用等式表示出来;(2)利用(1)中所得到的结论,解决下面的问题:已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值;(3)如图3,将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起,B,C,G三点在同一直线上,连接BD和BF.若这两个正方形的边长满足a+b=10,ab=20,请求出阴影部分的面积.13 18.(12分)解关于x的不等式x2+(a-2)x-2a≥0.19.(12分)已知不等式ax2-3x+2<0的解集为A={x|1<x<b}.(1)求a,b的值;(2)求函数y=(2a+b)x-9(a-b)x(x∈A)的最小值.13 20.(12分)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1x2=q,反过来,如果x1+x2=-p,x1x2=q,那么以x1,x2为两根的一元二次方程是x2+px+q=0.请根据以上结论,解决下列问题:(1)已知关于x的方程x2+mx+n=0(n≠0),求一个一元二次方程,使它的两根分别是已知方程两根的倒数;(2)已知a,b满足a2-15a-5=0,b2-15b-5=0,求ab+ba的值;(3)已知a,b,c均为实数,且a+b+c=0,abc=16,求正数c的最小值.21.(12分)问题情境:我们知道,若一个矩形的周长固定,当其相邻两边相等,即为正方形时,面积是最大的,反过来,若一个矩形的面积固定,它的周长是否会有最值呢?用两条直角边边长分别为a、b的四个全等的直角三角形可以拼成一个正方形.若a≠b,可以拼成如图①的正方形,从而得到a2+b2>4×12ab,即a2+b2>2ab;若a=b,可以拼成如图②的正方形,从而得到a2+b2=4×12ab,即a2+b2=2ab.于是我们可以得到结论:a,b为正数时,总有a2+b2≥2ab,且当a=b时,代数式a2+b2取得最小值2ab.另外,我们也可以通过代数式运算得到类似上面的结论.∵(a-b)2=a2-2ab+b2≥0,∴a2+b2≥2ab,∴对于任意实数a,b,总有a2+b2≥2ab,且当a=b时,代数式a2+b2取得最小值2ab.(1)探究方法:13 仿照上面的方法,对于正数a,b,试比较a+b和2ab的大小关系;(2)类比应用:利用上面所得到的结论,完成填空:①x2+1x2≥　　　　,代数式x2+1x2有最　　　　值,为　　　　; ②当x>0时,x+9x≥　　　　,代数式x+9x有最　　　　值,为　　　　; ③当x>2时,x+5x-2　　　　　,代数式x+5x-2有最　　　　值,为　　　　; (3)问题解决:若一个矩形的面积固定为n,则它的周长是否会有最值呢?若有,求出周长的最值及此时矩形的长和宽;若没有,请说明理由,由此你能得到怎样的结论?22.(12分)某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律,计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室,在温室内划出三块全等的矩形区域,分别种植三种植物,相邻矩形区域之间间隔1m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道,左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3m宽的通道,如图.设矩形温室的室内长为x(单位:m),三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位:m2).(1)求S关于x的函数关系式;(2)求S的最大值.13 13 答案全解全析第二章　等式与不等式本章达标检测1.B2.C3.A4.D5.C6.B7.B8.D9.CD10.BD11.AD12.CD一、单项选择题1.B　∵A-B=(2x2+2x)-(x2+x-1)=x2+x+1=x+122+34>0,∴A>B.2.C　当x=-2时,0≥0成立;当x>-2时,原不等式等价于x-1≥0,即x≥1.故原不等式的解集为{x|x≥1或x=-2}.3.A　等式变形为(a+b)(a-b)-c(a-b)=0,即(a-b)(a+b-c)=0,∵a+b-c≠0,∴a-b=0,即a=b,∴△ABC一定是等腰三角形.无法判断其是不是等边三角形或等腰直角三角形.故选A.4.D　x+5<5x+1,x-m>1可化为x>1,x>1+m,因为不等式组x+5<5x+1,x-m>1的解集是{x|x>1},所以1+m≤1,解得m≤0.5.C　对于A,ba-b+1a+1=b-aa(a+1),因为a>b>0,所以b-aa(a+1)<0,即ba<b+1a+1,故A错误;对于B,取a=12,b=15,则a+1a=52<265=b+1b,故B错误;对于C,a+1b-b+1a=(a-b)(ab+1)ab,因为a>b>0,所以(a-b)(ab+1)ab>0,即a+1b>b+1a,故C正确;对于D,2a+ba+2b-ab=(b-a)(b+a)b(a+2b),因为a>b>0,所以(b-a)(b+a)b(a+2b)<0,故2a+ba+2b<ab,故D错误.13 6.B　若每批生产x件产品,则每件产品的生产准备费用是800x元,仓储费用是x8元,总的费用是800x+x8≥2800x·x8=20元,当且仅当800x=x8,即x=80时取等号.7.B　∵不等式x+y4<m2-3m有解,∴x+y4min<m2-3m,∵x>0,y>0,且1x+4y=1,∴x+y4=x+y41x+4y=4xy+y4x+2≥24xy·y4x+2=4,当且仅当4xy=y4x,即x=2,y=8时取等号,∴x+y4min=4,∴m2-3m>4,即(m+1)(m-4)>0,解得m<-1或m>4,故实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(4,+∞).8.D　因为a+b=4,所以(a+1)+(b+3)=8,所以1a+1+1b+3=181a+1+1b+3[(a+1)+(b+3)]=182+b+3a+1+a+1b+3≥182+2b+3a+1·a+1b+3=18×(2+2)=12,当且仅当a+1=b+3且a+b=4,即a=3,b=1时,等号成立,所以1a+1+1b+3的最小值为12.二、多项选择题9.CD　易知A、B不正确;由a<b<|a|,可知0≤|b|<|a|,由不等式的性质可知|b|2<|a|2,∴a2>b2,故C正确;∵a<|a|,∴a<0,∵a<b,∴a2>ab,故D正确.故选CD.10.BD　由x2+xy-2y2=0得(x+2y)(x-y)=0,得x=-2y或x=y.当x=-2y时,x2+3xy+y2x2+y2=4y2-6y2+y24y2+y2=-15;当x=y时,x2+3xy+y2x2+y2=y2+3y2+y2y2+y2=52.11.AD　①由xt2>yt2可知,t2>0,所以x>y,因此xt2>yt2是x>y的充分条件.②由xt>yt不能确定t的符号,因此不能确定x与y的大小关系,故xt>yt不是x>y的充分条件.③令x=-2,y=1,则x2>y2,但x<y,因此x2>y2不是x>y的充分条件.④由0<1x<1y可得,x>0,y>0,1x-1y<0,即y-xxy<0,所以y-x<0,所以x>y.因此0<1x<1y是x>y的充分条件.故选AD.12.CD　∵a>0,b>0,且a+b=1,∴1=a+b≥2ab,∴ab≤14,∴A错误;(a+b)2=a+b+2ab=1+2ab≤1+1=2,∴a+b≤2,∴B错误;1a+1b=a+bab=1ab≥4,∴C正确;a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×14=12,∴D正确.故选CD.三、填空题13 13.答案　{x|-1<x<3}解析　因为不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),所以a<0且ba=1,故a=b<0.所求不等式可化为(x+1)(x-3)<0,解得-1<x<3.14.答案　(1)①x2+3x+2　②x2+2x-3　(2)a+b;ab　(3)m2-m-9900　(4)①(x-2)(x-3)　②(x-5)(x+2)　(5)-7,-2,2,7解析　(1)①(x+1)(x+2)=x2+3x+2,②(x+3)(x-1)=x2+2x-3.(2)(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.(3)(m+99)(m-100)=m2-m-9900.(4)①x2-5x+6=(x-2)(x-3),②x2-3x-10=(x-5)(x+2).(5)整数p的所有可能值是-7,-2,2,7.15.答案　[60,100]解析　因为“汽车以120km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5L”,所以15120-k+4500120=11.5,解得k=100,故汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶时,每小时的油耗为15x+4500x-20.令15x+4500x-20≤9,解得45≤x≤100,因为60≤x≤120,所以60≤x≤100,所以欲使每小时的油耗不超过9L,速度x的取值范围为[60,100].16.答案　3解析　对任意a,b∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(b*c)-5c,令c=0,代入得(a*b)*0=0*(ab)+(a*0)+(b*0),由a*b=b*a可得(a*b)*0=(ab)*0+(a*0)+(b*0),由a*0=a可得a*b=ab+a+b,所以y=x*1x=1+x+1x,因为x>0,由均值不等式可得y=1+x+1x≥3当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立,所以y=x*1x(x>0)的最小值为3.四、解答题17.解析　(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.(3分)(2)∵a+b+c=11,ab+bc+ac=38,13 ∴a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=121-76=45.(5分)(3)∵a+b=10,ab=20,∴S阴影=a2+b2-12(a+b)·b-12a2=12a2+12b2-12ab=12(a+b)2-32ab=12×102-32×20=50-30=20.(10分)18.解析　x2+(a-2)x-2a≥0可化为(x+a)(x-2)≥0.(1分)当-a=2,即a=-2时,(x-2)2≥0,此时x∈R;(4分)当-a>2,即a<-2时,解得x≥-a或x≤2;(7分)当-a<2,即a>-2时,解得x≥2或x≤-a.(10分)综上所述,当a>-2时,x∈(-∞,-a]∪[2,+∞);当a=-2时,x∈R;当a<-2时,x∈(-∞,2]∪[-a,+∞).(12分)19.解析　(1)∵不等式ax2-3x+2<0的解集为A={x|1<x<b},∴1和b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,(3分)∴a-3+2=0,ab2-3b+2=0,b>1,解得a=1,b=2.(6分)(2)由(1)得y=4x+9x≥236=12,(8分)当且仅当4x=9x,即x=32时,等号成立,(10分)∴函数的最小值为12.(12分)20.解析　(1)设方程x2+mx+n=0(n≠0)的两个根分别是x1,x2,则x1+x2=-m,x1x2=n,(1分)则1x1+1x2=x1+x2x1x2=-mn,1x1·1x2=1x1x2=1n,(2分)若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数,则这个一元二次方程是y2+mny+1n=0,整理得ny2+my+1=0.(4分)(2)分两种情况讨论:①当a≠b时,∵a,b满足a2-15a-5=0,b2-15b-5=0,∴a,b是x2-15x-5=0的两个根,∴a+b=15,ab=-5,∴ab+ba=a2+b2ab=(a+b)2-2abab=152-2×(-5)-5=-47.(6分)13 ②当a=b时,ab+ba=2.综上所述,ab+ba的值为-47或2.(8分)(3)∵a+b+c=0,abc=16,∴a+b=-c,ab=16c,∴a,b是方程x2+cx+16c=0的两个根,∴Δ=c2-4·16c≥0,即c2-43c≥0.(10分)∵c是正数,c3-43=(c-4)(c2+4c+16)≥0,c2+4c+16=(c+2)2+12>0,∴c≥4,∴正数c的最小值是4.(12分)21.解析　(1)∵当a,b均为正数时,(a-b)2=a+b-2ab≥0,∴a+b≥2ab,当且仅当a=b时,取等号.(1分)(2)①结合探究方法中得出的结论可知,x2+1x2≥2x·1x=2,所以代数式x2+1x2有最小值,为2.故答案为2x·1x;小;2.(3分)②结合探究方法中得出的结论可知,当x>0时,x+9x≥2x·9x=6,代数式x+9x有最小值,为6.故答案为2x·9x;小;6.(6分)③结合探究方法中得出的结论可知,当x>2时,x+5x-2=x-2+5x-2+2≥2(x-2)·5x-2+2=25+2,代数式x+5x-2有最小值为25+2.故答案为2(x-2)·5x-2+2;小;25+2.(9分)(3)设该矩形的长为a,宽为b(a≥b>0),根据题意知,周长C=2(a+b)≥4ab=4n,且当a=b时,代数式2(a+b)取得最小值为4n,此时a=b=n.(11分)故若一个矩形的面积固定为n,则它的周长有最小值,周长的最小值为4n,此时矩形的长和宽均为n.(12分)22.解析　(1)由题得S=(x-8)900x-2=-2x-7200x+916,x∈(8,450).(6分)(2)因为8<x<450,所以2x+7200x≥22x·7200x=240,13 当且仅当x=60时,等号成立,(8分)所以S≤676.(10分)故当矩形温室的室内长为60m时,三块种植植物的矩形区域的总面积最大,为676m2.(12分)13