专题强化练1　复合型指数函数的综合应用一、选择题1.(★★☆)若函数f(x)=(a-1)x,x≥1,-x2+2ax-3,x<1在R上是增函数,则a的取值范围为(　　)A.(1,+∞)B.(2,3]C.(2,+∞)D.[1,2)2.(★★☆)已知函数y=kx+a(k,a为常数)的图像如图所示,则函数y=ax+k的图像可能是(　　)3.(★★☆)下列函数中,值域为(0,+∞)的是(　　)A.y=512-xB.y=131-xC.y=12x-1D.y=1-2x4.(2020云南保山高一期中,★★☆)定义运算m*n=m,m≥n,n,m<n,则函数f(x)=ax*a-x(0<a<1)的大致图像为(　　)二、填空题5.(2020安徽定远育才实验学校高三月考,★★☆)定义区间[x1,x2]的长度为x2-x1,已知函数f(x)=3|x|的定义域为[a,b],值域为[1,9],则区间[a,b]的长度的最小值为　　　　. 6.(★★★)已知函数f(x)=x+1,0≤x<1,2x-12,x≥1,设a>b≥0,若f(a)=f(b),则b·f(a)5 的取值范围是　　　　. 7.(2020重庆西南大学附中高一上期末,★★★)已知函数f(x)=2x,x∈[-1,1],则函数y=f(2x)-2f(-2x)的值域为　　　　. 三、解答题8.(★★☆)已知定义域为R的函数f(x)=-2x+b2x+1+a是奇函数.(1)求a,b的值;(2)解关于t的不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)<0.9.(★★☆)已知函数f(x)=23|x|-a.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)的最大值为94,求a的值.10.(★★☆)已知函数f(x)=a|x+b|(a>0,a≠1,b∈R).(1)若f(x)为偶函数,求b的值;5 (2)若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,试求a,b应满足的条件.答案全解全析一、选择题1.B　依题意得a-1>1,a≥1,(a-1)1≥-12+2a×1-3,解得2<a≤3.故选B.2.B　由题中函数y=kx+a的图像可得-1<k<0,0<a<1.函数y=ax+k的图像可以看成把y=ax的图像向右平移-k个单位得到的,且函数y=ax+k是减函数,故此函数的图像与y轴交点的纵坐标大于1,结合所给的选项知B正确,故选B.3.B　对于A,函数y=512-x,因为12-x≠0,所以512-x≠1,所以函数的值域为(0,1)∪(1,+∞);对于B,因为函数y=131-x=3x-1,所以函数的值域为(0,+∞);对于C,因为12x>0,所以12x-1>-1,要使函数式有意义,需12x-1≥0,所以12x-1≥0,所以函数y=12x-1的值域为[0,+∞);对于D,因为2x>0,所以1-2x<1,所以0≤1-2x<1,所以函数y=1-2x的值域为[0,1).综上可得,只有B满足条件.故选B.4.B　依题意得f(x)=ax,x≤0,a-x,x>0,当x≤0时,y=ax(0<a<1)递减,且函数值不小于1.当x>0时,y=a-x(0<a<1)递增,且函数值大于1.结合指数函数的图像的特点可知f(x)的图像为B选项对应的图像.故选B.二、填空题5.答案　25 解析　∵函数f(x)=3|x|的定义域为[a,b],值域为[1,9],且30=1,32=3|-2|=9,∴满足题意的定义域为[-2,m](0≤m≤2)或[n,2](-2≤n≤0).故区间[a,b]的长度的最小值为2.6.答案　34,2解析　画出函数f(x)的图像,如图所示,若f(a)=f(b),则12≤b<1,所以b·f(a)=b·f(b)=b(b+1)=b2+b=b+122-14,所以34≤b·f(a)<2.7.答案　-72,1解析　∵函数f(x)=2x,x∈[-1,1],∴y=f(2x)-2f(-2x)=22x-2·2-2x=22x-222x,由-1≤2x≤1,-1≤-2x≤1,解得-12≤x≤12.令t=22x,t∈12,2,则y=t-2t在12,2上单调递增,∴ymin=12-212=-72,ymax=2-22=1,故函数y=f(2x)-2f(-2x)的值域为-72,1.三、解答题8.解析　(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即-1+b2+a=0,解得b=1,所以f(x)=-2x+12x+1+a.又由f(1)=-f(-1)知-2+14+a=--12+11+a,解得a=2.经检验,当a=2,b=1时,f(x)为奇函数,满足题意.综上,a=2,b=1.(2)由(1)知f(x)=-2x+12x+1+2=-12+12x+1.5 由上式易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.又因为f(x)是奇函数,所以不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)<0等价于f(t2-2t)<-f(2t2-1)=f(-2t2+1).所以t2-2t>-2t2+1,即3t2-2t-1>0,解得t>1或t<-13,所以该不等式的解集为t|t>1或t<-13.9.解析　(1)令t=|x|-a,则原函数化为y=23t,无论a取何值,t=|x|-a在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,又y=23t是单调递减的,∴f(x)的单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是[0,+∞).(2)∵f(x)在(-∞,0]上单调递增,在[0,+∞)上单调递减,∴f(x)在x=0处取最大值,∴f(0)=94=23-a,∴32a=322,∴a=2.10.解析　(1)因为f(x)为偶函数,所以对任意的x∈R,都有f(x)=f(-x),即a|x+b|=a|-x+b|,|x+b|=|-x+b|,解得b=0.(2)记h(x)=|x+b|=x+b,x≥-b,-x-b,x<-b.①当a>1时,f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,即h(x)在区间[2,+∞)上是增函数,所以-b≤2,即b≥-2.②当0<a<1时,f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,即h(x)在区间[2,+∞)上是减函数,但h(x)在区间[-b,+∞)上是增函数,故此时不存在b使f(x)在区间[2,+∞)上是增函数.所以f(x)在区间[2,+∞)上是增函数时,a,b应满足的条件为a>1且b≥-2.5