综合拔高练五年高考练考点　求古典概型的概率1.(2020全国Ⅰ,4,5分,★★☆)设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为(　　)A.15B.25C.12D.452.(2019课标全国Ⅲ,4,5分,★★☆)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)A.23B.35C.25D.153.(2020江苏,4,5分,★★☆)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是　　　　. 4.(2019天津,15,13分,★★☆)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;(ii)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.　　员工项目　　ABCDEF子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○7 三年模拟练应用实践1.(2020广东揭阳高三下线上测试,★★☆)口袋中有形状和大小完全相同的五个球,编号分别为1,2,3,4,5,若从中一次随机摸出两个球,则摸出的两个球编号之和不小于6的概率为(　　)A.0.4B.0.5C.0.6D.0.72.(2020安徽安庆示范高中高考数学模拟,★★☆)在1,2,3,4中随机选出一个数a,在-1,-2,-3,-4中随机选出一个数b,则a2+b2被3整除的概率为(　　)A.12B.14C.116D.183.(2020安徽合肥高三三模,★★☆)在新冠肺炎疫情联防联控期间,某居委会从辖区内A,B,C三个小区志愿者中各选取1人,随机安排到这三个小区,协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作.若每个小区安排1人,则每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为(　　)A.16B.13C.12D.234.(2020河南高考数学大联考,★★☆)饕餮纹,青铜器上常见的花纹之一,盛行于商代至西周早期,最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上.有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上,如图所示,每个小方格的边长为1,有一点P从A点出发每次向右或向下跳一个单位长度,且向右或向下跳是等可能性的,那么经过4次跳动后,恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为(　　)A.116B.18C.14D.125.(多选)(★★☆)以下对各事件发生的概率判断正确的是(　　)A.甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏,则玩一局甲不输的概率是13B.每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和,例如8=3+5,在不超过14的素数中随机选7 取两个不同的数,其和等于14的概率为115C.将一个质地均匀的正方体骰子(各个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数之和是6的概率是536D.从三件正品、一件次品中随机取出两件,则取出的产品全是正品的概率是126.(2020江苏无锡天一中学高三期中,★★☆)在编号为1,2,3,4,5且大小和形状均相同的五张卡片中,一次随机抽取其中的三张,则抽取的三张卡片编号之和是偶数的概率为　　　　. 7.(★★☆)某工厂为了节约用电,现规定每天的用电量指标为1000度,按照上个月的用电记录,在30天中有12天的用电量超过指标,若这个月(按30天计)仍没有采取具体的节电措施,则该月的第一天用电量超过指标的概率是　　　　. 8.(2020山东日照高一上期末,★★☆)已知某中学高一、高二、高三三个年级的青年学生志愿者人数分别为180、120、60.现采用分层抽样的方法从中抽取6名学生去森林公园风景区参加“保护鸟群,爱我森林”的宣传活动.(1)应从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?(2)设抽取的6名学生分别用A,B,C,D,E,F表示,现从中随机抽取2名学生承担分发宣传材料的工作.设事件M=“抽取的2名学生来自高一年级”,求事件M发生的概率.迁移创新9.(★★☆)随着移动互联网的发展,与餐饮美食相关的手机App软件层出不穷.现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家,对它们的“平均送达时间”进行统计,得到频率分布直方图如下所示(每组包含最小值,不包含最大值,其中图①表示的是使用A款软件的100个商家“平均送达时间”的频率分布直方图,图②表示的是使用B款软件的100个商家“平均送达时间”的频率分布直方图).7 (1)已知抽取的100个使用A款订餐软件的商家中,甲商家的“平均送达时间”为18分钟.现从使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研,求甲商家被抽到的概率;(2)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数;(3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据,从A和B两款订餐软件中选择一款订餐,你会选择哪款?答案全解全析五年高考练1.A　从O,A,B,C,D中任取3点的情况有(O,A,B),(O,A,C),(O,A,D),(O,B,C),(O,B,D),(O,C,D),(A,B,C),(A,B,D),(B,C,D),(A,C,D),共有10种不同的情况,由图可知取到的3点共线的有(O,A,C)和(O,B,D)两种情况,所以所求概率为210=15.故选A.2.B　记5只兔子分别为A,B,C,D,E,其中测量过某项指标的3只兔子为A,B,C,则从这5只兔子中随机取出3只的基本事件有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种,其中恰有2只测量过该指标的基本事件有ABD,ABE,ACD,ACE,BCD,BCE,共6种,所以所求事件的概率P=610=35.3.答案　197 解析　抛掷一颗骰子2次,所有基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),…,(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个,其中点数之和为5的有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4个,故所求概率P=436=19.4.解析　(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6∶9∶10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.(2)(i)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种.(ii)由题中表格知,符合题意的所有可能结果为(A,B),(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,E),(C,F),(D,F),(E,F),共11种.所以事件M发生的概率P(M)=1115.三年模拟练应用实践1.C　从五个球中一次随机摸出两个球的等可能的情况有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种,其中两个球的编号之和不小于6的有(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共6种,故所求概率P=610=0.6,故选C.2.C　由题意得样本点总数n=16,a2+b2被3整除包含的基本事件(a,b)只有(3,-3),则a2+b2被3整除的概率P=116.3.B　由题意得,居委会从辖区内A,B,C三个小区志愿者中各选取1人,依次设为a,b,c.则有abc,acb,bac,bca,cab,cba六种,故样本点总数n=6,每位志愿者不安排在自己居住小区包含的样本点是bca,cab,即样本点个数m=2,∴每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为mn=26=13.4.A　点P从A点出发,跳4次,每次向右或向下跳一个单位长度,共有16种不同的跳法(路线),分别为:(右,右,右,右),(右,右,右,下),(右,右,下,右),(右,下,右,右),(下,右,右,右),(右,右,下,7 下),(右,下,下,右),(下,下,右,右),(右,下,右,下),(下,右,下,右),(下,右,右,下),(右,下,下,下),(下,右,下,下)(下,下,右,下),(下,下,下,右),(下,下,下,下),符合题意的只有(右,右,下,下)这一种,所以经过4次跳动后,恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为116.5.BCD　对于A,画树状图如下:从树形图可以看出,所有可能出现的结果共有9种,这些结果出现的可能性相等,P(甲获胜)=13,P(乙获胜)=13,故玩一局甲不输的概率是23,故A错误;对于B,不超过14的素数有2,3,5,7,11,13共6个,从这6个素数中任取2个,有2与3,2与5,2与7,2与11,2与13,3与5,3与7,3与11,3与13,5与7,5与11,5与13,7与11,7与13,11与13,共15种结果,其中和等于14的只有一组3与11,所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为115,故B正确;对于C,基本事件总共有6×6=36种情况,其中点数之和是6的有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5种情况,则所求概率是536,故C正确;对于D,记三件正品为A1,A2,A3,一件次品为B,任取两件产品的所有可能为A1A2,A1A3,A1B,A2A3,A2B,A3B,共6种,其中两件都是正品的有A1A2,A1A3,A2A3,共3种,则所求概率为P=36=12,故D正确.故选BCD.6.答案　0.6解析　从五张卡片中一次随机抽取其中的三张,所有基本事件为(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10个,其中“抽取的三张卡片编号之和是偶数”的有(1,2,3),(1,2,5),(1,3,4),(1,4,5),(2,3,5),(3,4,5),共6个基本事件,因此“抽取的三张卡片编号之和是偶数”的概率为610=0.6.7.答案　0.4解析　电量超过指标的频率是1230=0.4,又频率是概率的近似值,故该月的第一天用电量超过指标的概率为0.4.7 8.解析　(1)由已知得,高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶1,由于采用分层抽样的方法从中抽取6名学生,故从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取3人、2人、1人.(2)从抽取的6名学生中随机抽取2名学生的所有等可能的结果有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种.不妨设抽取的6名学生中,来自高一年级的是A,B,C,则从抽取的6名学生中随机抽取2名学生来自高一年级的所有可能结果有(A,B),(A,C),(B,C),共3种,所以事件M发生的概率P(M)=315=0.2.迁移创新9.解析　(1)使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家共有100×0.006×10=6个,分别记为甲,a,b,c,d,e.从中随机抽取3个商家有如下20种情况:(甲,a,b),(甲,a,c),(甲,a,d),(甲,a,e),(甲,b,c),(甲,b,d),(甲,b,e),(甲,c,d),(甲,c,e),(甲,d,e),(a,b,c),(a,b,d),(a,b,e),(a,c,d),(a,c,e),(a,d,e),(b,c,d),(b,c,e),(b,d,e),(c,d,e).其中甲商家被抽到有如下10种情况:(甲,a,b),(甲,a,c),(甲,a,d),(甲,a,e),(甲,b,c),(甲,b,d),(甲,b,e),(甲,c,d),(甲,c,e),(甲,d,e).记事件A为“甲商家被抽到”,则P(A)=1020=12.(2)依题意及题图①可得,使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数约为55,平均数约为15×0.06+25×0.34+35×0.12+45×0.04+55×0.4+65×0.04=40.(3)使用B款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数约为15×0.04+25×0.2+35×0.56+45×0.14+55×0.04+65×0.02=35,因为35<40,所以选择B款订餐软件订餐.7