两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)　　　　　　　　　　　　　　　　(20分钟　35分)1.(2020·金昌高一检测)与相等的是(　　)A.tan66°B.tan24°C.tan42°D.tan21°【解析】选B.原式==tan(45°-21°)=tan24°.2.已知tanα=,tan(α-β)=-,那么tan(2α-β)的值为(　　)A.-B.C.-D.【解析】选D.因为tanα=,tan(α-β)=-,所以tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]==.3.已知α为锐角,且tan(α+β)=3,tan(α-β)=2,则角α等于(　　)A.B.C.πD.【解析】选C.因为tan2α=tan[(α+β)+(α-β)]===-1,因为α为锐角,所以0<2α<π,所以2α=,得α=.4.已知α+β=π,则(1-tanα)(1-tanβ)=(　　)A.2B.-2C.1D.-1【解析】选A.因为tan(α+β)=-1=,所以tanα+tanβ=-1+tanαtanβ.所以(1-tanα)(1-tanβ)=1-tanα-tanβ+tanαtanβ=2.5.(2020·平顶山高一检测)已知△ABC中,tanAtanB-tanA-tanB=,则C的大小为　　　　. 7 【解析】依题意有=-,即tan(A+B)=-.又因为0<A+B<π,所以A+B=,所以C=π-A-B=.答案:6.已知α,β∈,且tanα,tanβ是方程x2+3x+4=0的两个根,求α+β.【解析】因为tanα,tanβ是方程x2+3x+4=0的两个根,所以tanα+tanβ=-3,tanαtanβ=4,所以tan(α+β)===.因为两根之和小于0,两根之积大于0,故两根同时为负数.又α,β∈,所以α,β∈,所以α+β∈(-π,0),故α+β=-.　　　　　　　　　　　　　　　　(30分钟　60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.tan20°+tan40°+tan20°tan40°的值是(　　)A.2B.C.D.【解析】选C.因为tan60°=tan(20°+40°)=,所以(1-tan20°tan40°)=tan20°+tan40°,所以原式=-tan20°tan40°+tan20°tan40°=.2.(2020·沈阳高一检测)锐角△ABC中,tanAtanB的值(　　)A.不小于1B.小于1C.等于1D.大于1【解析】选D.由于△ABC为锐角三角形,7 所以tanA,tanB,tanC均为正数.所以tanC>0.所以tan[180°-(A+B)]>0.所以tan(A+B)<0,即<0.而tanA>0,tanB>0所以1-tanAtanB<0,即tanAtanB>1.3.已知tanα=,则的值是(　　)A.2B.C.-1D.-3【解析】选B.方法一:因为tanα=,所以tan==3,所以==.方法二:==tan=tanα=.4.已知tanα和tan是方程ax2+bx+c=0的两个根,则a,b,c的关系是(　　)A.b=a+cB.2b=a+cC.c=b+aD.c=ab【解析】选C.由根与系数的关系可知tanα+tan=-,且tanαtan=,所以tan=tan==1.所以-=1-.所以-b=a-c.所以c=a+b.5.的值应是(　　)A.-B.C.1D.-1【解析】选A.因为tan10°+tan50°7 =tan60°-tan60°tan10°tan50°,所以原式==-tan60°=-.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知tanα=2,tanβ=-3,其中0°<α<90°,90°<β<180°,则=　　　　,α-β=　　　　. 【解析】==-7.因为tan(α-β)==-1,又0°<α<90°,90°<β<180°,所以-180°<α-β<0°,所以α-β=-45°.答案:-7　-45°7.(2020·沈阳高一检测)tan69°-tan24°-tan69°tan24°=　　　　. 【解析】因为tan69°-tan24°=tan(69°-24°)(1+tan69°tan24°)=tan45°(1+tan69°tan24°)=1+tan69°tan24°所以tan69°-tan24°-tan69°tan24°=1+tan69°tan24°-tan69°tan24°=1.答案:18.tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°=　　　　. 【解析】原式=(tan20°+tan40°)+tan40°tan20°=tan60°(1-tan20°tan40°)+tan40°tan20°=1-tan20°tan40°+tan40°tan20°=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020·蕲州高一检测)(1)已知α+β=,求(1+tanα)(1+tanβ).(2)利用(1)的结论求(1+tan1°)·(1+tan2°)·(1+tan3°)·…·(1+tan44°)的值.7 【解析】(1)因为α+β=,所以tan(α+β)=1,即=1,所以tanα+tanβ=1-tanαtanβ.所以(1+tanα)(1+tanβ)=(tanα+tanβ)+1+tanαtanβ=2.(2)由(1)知当α+β=45°时,(1+tanα)(1+tanβ)=2.所以原式=(1+tan1°)(1+tan44°)(1+tan2°)·(1+tan43°)·…·(1+tan22°)(1+tan23°)=222.10.已知A,B,C是△ABC的三内角,向量m=(-1,),n=(cosA,sinA),且m·n=1.(1)求角A.(2)若tan=-3,求tanC.【解析】(1)因为m·n=1,所以(-1,)·(cosA,sinA)=1,即sinA-cosA=1,2sin=1.所以sin=.因为0<A<π,所以-<A-<,所以A-=,即A=.(2)由tan==-3,解得tanB=2.又A=,所以tanA=.所以tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-=-=.　　　【补偿训练】　　已知tan(π+α)=-,tan(α+β)=.(1)求tan(α+β)的值.7 (2)求tanβ的值.【解析】(1)因为tan(π+α)=-,所以tanα=-,因为tan(α+β)==　　　====,所以tan(α+β)==.(2)因为tanβ=tan[(α+β)-α]=,所以tanβ==.1.若(tanα-1)(tanβ-1)=2(α,β为锐角),则α+β=　　　　. 【解析】(tanα-1)(tanβ-1)=2⇒tanαtanβ-tanα-tanβ+1=2⇒tanα+tanβ=tanαtanβ-1⇒=-1,即tan(α+β)=-1,因为α,β为锐角,所以0<α+β<π.所以α+β=.答案:2.是否存在锐角α,β,使得(1)α+2β=,(2)tantanβ=2-同时成立?若存在,求出锐角α,β的值;若不存在,请说明理由.【解析】假设存在锐角α,β使得(1)α+2β=,(2)tantanβ=2-同时成立.7 由(1)得+β=,所以tan==.又tantanβ=2-,所以tan+tanβ=3-,因此tan,tanβ可以看成是方程x2-(3-)x+2-=0的两个根,解得:x1=1,x2=2-.若tan=1,则α=,这与α为锐角矛盾,所以tan=2-,tanβ=1,所以α=,β=,所以满足条件的α,β存在,且α=,β=.7