§1.2任意角的三函数1.2.1任意角的三角函数(一),明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺04,1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等.明目标、知重点,1.任意角三角函数的定义(1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：①y叫做α的，记作，即；②x叫做α的，记作，即；正弦填要点·记疑点sinαsinα＝y余弦cosαcosα＝x,对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.(2)设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝.正切tanα,2.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号,3.诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值，即：sin(α＋k·2π)＝，cos(α＋k·2π)＝，tan(α＋k·2π)＝，其中k∈Z.相等sinαcosαtanα,探要点·究所然情境导学在初中我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，角的概念推广后，这样的三角函数的定义明显不再适用，如何对三角函数重新定义，这一节我们就来一起研究这个问题.,探究点一　锐角三角函数的定义思考1如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知a＝3，b＝4，c＝5，试求sinA，cosB，sinB，cosA，tanA，tanB的值.,思考2如图，锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α终边上任取一点P(a，b)，它与原点的距离为r，作PM⊥x轴，你能根据直角三角形中三角函数的定义求出sinα，cosα，tanα吗？,思考3如图所示，在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.锐角α的终边与单位圆交于P(x，y)点，则有：sinα＝，cosα＝，tanα＝.yx,探究点二　任意角三角函数的概念思考1任意角三角函数是怎样定义的？①单位圆定义法：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝；叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝；叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝(x≠0).yyxx,②终边定义法：设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则有sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)，其中r＝>0.,思考2对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的位置的改变而改变呢？答由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值，即一个实数，它的大小只与角α的终边位置有关，即与角有关，与角α终边上点P的位置无关.,思考3在上述三角函数定义中，自变量是什么？对应关系有什么特点，函数值是什么？答(1)正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.(2)当α＝＋kπ(k∈Z)时，α的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0，所以tanα＝无意义，除此情况外，对于确定的值α，上述三个值都是唯一确定的实数.,(3)当α是锐角时，此定义与初中定义相同；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P(x，y)，从而就必然能够最终计算出三角函数值.,例1求的正弦、余弦和正切值.解在直角坐标系中，作∠AOB＝，∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为,反思与感悟利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论.,跟踪训练1已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝则y＝.所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.－8,探究点三　三角函数值在各象限的符号思考上述三种函数的值在各象限的符号会怎样？答三角函数的定义告诉我们，三角函数在各象限内的符号，取决于x，y的符号.(1)sinα＝(r>0)，因此sinα的符号与y的符号相同，当α的终边在第一、二象限时，sinα>0；当α的终边在第三、四象限时，sinα<0.,(2)cosα＝(r>0)，因此cosα的符号与x的符号相同，当α的终边在第一、四象限时，cosα>0；当α的终边在第二、三象限时，cosα<0.(3)tanα＝，因此tanα的符号由x、y确定，当α终边在第一、三象限时，xy>0，tanα>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0，tanα<0.,三角函数值在各象限内的符号，如图所示：记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.,例2判断下列各式的符号：(1)sinα·cosα(其中α是第二象限角)；解(1)∵α是第二象限角.∴sinα>0，cosα<0，∴sinα·cosα<0.,(2)sin285°cos(－105°)；解∵285°是第四象限角，∴sin285°<0，∵－105°是第三象限角，∴cos(－105°)<0，∴sin285°·cos(－105°)>0.,∴sin3>0，cos4<0.,反思与感悟准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键.可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆.,跟踪训练2已知cosθ·tanθ<0，那角θ是()A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角∴角θ为第三或第四象限角.C,探究点四　诱导公式一思考1诱导公式一是什么？答由任意角的三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等.由此得到诱导公式一：sin(k·360°＋α)＝sinα，cos(k·360°＋α)＝cosα，tan(k·360°＋α)＝tanα，其中k∈Z，或者：sin(2kπ＋α)＝sinα，cos(2kπ＋α)＝cosα，tan(2kπ＋α)＝tanα，其中k∈Z.,思考2诱导公式一的作用是什么？答把求任意角的三角函数值转化为求0°～360°的三角函数值.,例3求下列各式的值.,(2)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°.解原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°)＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan135°,反思与感悟利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”.同时要熟记特殊角的三角函数值.,跟踪训练3求下列各式的值：,(2)sin630°＋tan1125°＋tan765°＋cos540°.解原式＝sin(360°＋270°)＋tan(3×360°＋45°)＋tan(2×360°＋45°)＋cos(360°＋180°)＝sin270°＋tan45°＋tan45°＋cos180°＝－1＋1＋1－1＝0.,当堂测·查疑缺12341.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα等于()D,12342.如果角α的终边过点P(2sin30°，－2cos30°)，则cosα的值等于()A,1234D,4.tan405°－sin450°＋cos750°＝.1234,呈重点、现规律1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定.即三角函数值的大小只与角有关.2.要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取.3.要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.