§1.2任意角的三函数1.2.2同角三角函数的基本关系,明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺04,1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.明目标、知重点,1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：.(2)商数关系：.sin2α＋cos2α＝1填要点·记疑点,2.同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝；cos2α＝；(2)tanα＝的变形公式：sinα＝；cosα＝.1－cos2α1－sin2αcosαtanα,探要点·究所然情境导学大家都听过一句话：南美洲亚马逊河雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风.这就是著名的“蝴蝶效应”，他本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.两个似乎毫不相干的事物，却有着这样的联系.那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？这就是本节课所研究的问题.,sinαcosαtanαsin2α＋cos2α30°探究点一　同角三角函数的基本关系式思考1写出下列角的三角函数值，观察他们之间的关系，猜想之间的联系？你能发现什么一般规律？你能否用代数式表示这两个规律？1,45°60°150°11111,联系：sin230°＋cos230°＝，sin245°＋cos245°＝，sin260°＋cos260°＝，sin2150°＋cos2150°＝；＝，＝，＝，＝.同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的；sin2α＋cos2α＝，tanα＝.1111tan30°tan45°tan60°tan150°正切1,思考2如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？答设点P(x，y)为α终边上任意一点，P与O不重合.P到原点的距离为r＝,同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都有意义.所以sin2α＋cos2α＝1对于任意角α∈R都成立，而＝tanα并不是对任意角α∈R都成立，这时α≠kπ＋，k∈Z.,思考3对于平方关系sin2α＋cos2α＝1可作哪些变形？对于商数关系＝tanα可作哪些变形？答sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα，(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα，sinα＝cosα·tanα，cosα＝.,探究点二　三角函数式的求值思考已知某角的一个三角函数值，再利用sin2α＋cos2α＝1求它的其余三角函数值时，要注意角所在的象限，恰当选取开方后根号前面的正负号，一般有以下三种情况：类型1：如果已知三角函数值，且角的象限已知，那么只有一组解.,类型2：如果已知三角函数值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数值的正负确定角可能在的象限，然后求解，这种情况一般有两组解.,类型3：如果所给的三角函数值是由字母给出的，且没有确定角在哪个象限，那么就需要进行讨论.例如：已知cosα＝m，且|m|<1，求sinα，tanα.答∵cosα＝m，且|m|<1，,当α终边在y轴上时，sinα＝±1，tanα不存在.,例1已知sinα＝－，求cosα，tanα的值.解因为sinα<0，sinα≠－1，所以α是第三或第四象限角.由sin2α＋cos2α＝1得如果α是第三象限角，那么cosα<0.,反思与感悟同角三角函数的基本关系揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用.,跟踪训练1已知tanα＝，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值.又sin2α＋cos2α＝1，②又α是第三象限角，,探究点三　三角函数式的化简三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽量化为同角且同名的三角函数等.三角函数式的化简实质上是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式.同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要求，因此在平常学习时要注意经验的积累.,,,反思与感悟解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系.化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解.,(4)关于sinα，cosα的齐次式的求值方法：①sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子，分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，如可化为，再代入求值.②若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，如3sin2α－2cos2α可写成，进一步化为，再代入求值.,跟踪训练2已知tanα＝3，则1,(2)sin2α－3sinαcosα＋1＝.1,探究点四　三角恒等式的证明证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边差异来促成统一的过程，证明的方法在形式上显得较为灵活，常用的有以下几种：①直接法：从等式的一边开始直接化为等式的另一边，常从比较复杂、繁杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性；②综合法：由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想；,③中间量法：证明等式左右两式都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等，即“a＝c，b＝c，则a＝b”，它可由等量关系的传递性及对称性推出；④分析法：从结论出发，逐步向已知找条件，其证明过程的书写格式为“要证明……，只需……”，只要所需的条件都已经具备，则结论就成立；⑤比较法：设法证明：“左边－右边＝0”或“＝1”.,∴原等式成立.方法二∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α.∴cos2α＝(1－sinα)·(1＋sinα).,∴原等式成立.∵左边＝右边，∴原等式成立.,,反思与感悟证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地进行化简.证明三角恒等式的基本原则：由繁到简.常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证.常用技巧：切化弦、整体代换.,,∴原式成立.,∴左边＝右边，原式成立.,当堂测·查疑缺1234cos40°－sin40°,12342.已知α是第三象限角，sinα＝－，则tanα＝.解析由α是第三象限的角，得到cosα<0，,1234解∵α是第三象限角，∴sinα<0，由三角函数线可知－1