§1.3三角函数的诱导公式(一),明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺04,1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.明目标、知重点,相关角终边之间的对称关系π＋α与α关于对称－α与α关于对称π－α与α关于对称1.设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系如表原点填要点·记疑点x轴y轴,2.诱导公式一～四(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝，cos(α＋2kπ)＝，tan(α＋2kπ)＝，其中k∈Z.(2)公式二：sin(π＋α)＝，cos(π＋α)＝，tan(π＋α)＝.(3)公式三：sin(－α)＝，cos(－α)＝，tan(－α)＝.(4)公式四：sin(π－α)＝，cos(π－α)＝，tan(π－α)＝.sinαcosαtanα－sinα－cosαtanα－sinαcosα－tanαsinα－cosα－tanα,探要点·究所然情境导学在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同名三角函数相等，即公式一，并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°～360°内的角的三角函数值，对于90°～360°内的三角函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解？这就是本节学习的内容.,探究点一　诱导公式二思考1设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P2的坐标如何？答角π＋α与角α的终边关于原点O对称；P2(－x，－y),思考2根据三角函数定义，sin(π＋α)、cos(π＋α)、tan(π＋α)的值分别是什么？对比sinα，cosα，tanα的值，π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？答sin(π＋α)＝－y，cos(π＋α)＝－x，,诱导公式二sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.,思考3公式二有何作用？答第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数，例如：,探究点二　诱导公式三思考1设角α的终边与单位圆的交点为P1(x，y)，角－α的终边与角α的终边有什么关系？如图，－α的终边与单位圆的交点P2坐标如何？答角－α的终边与角α的终边关于x轴对称；角－α的终边与单位圆的交点为P2(x，－y).,思考2根据三角函数定义，－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？答sinα＝y，cosα＝x，tanα＝；sin(－α)＝－y＝－sinα；cos(－α)＝x＝cosα，tan(－α)＝－＝－tanα.,即诱导公式三sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα.,思考3诱导公式三有何作用？答将负角的三角函数转化为正角的三角函数.,思考1利用π－α＝π＋(－α)，结合公式二、三，你能得到什么结论？答由诱导公式二和诱导公式三可得：sin(π－α)＝sin[π＋(－α)]＝－sin(－α)＝sinα，cos(π－α)＝cos[π＋(－α)]＝－cos(－α)＝－cosα.tan(π－α)＝tan[π＋(－α)]＝tan(－α)＝－tanα.探究点三　诱导公式四,即sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.即诱导公式四sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.,思考2诱导公式四有何作用？答将第二象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数.,思考3公式一～四都叫做诱导公式，他们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？答2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变，符号看象限”！,例1利用公式求下列三角函数的值：(1)cos225°；解(1)cos225°＝cos(180°＋45°),,(4)cos(－2040°).解cos(－2040°)＝cos2040°＝cos(6×360°－120°)＝cos120°＝cos(180°－60°)＝－cos60°＝－.,反思与感悟利用诱导公式求三角函数值时，先将不是[0,2π)内的角的三角函数，转化为[0,2π)内的角的三角函数，或先将负角转化为正角后再转化到范围内的角的三角函数值.,跟踪训练1求下列三角函数值.,,(3)tan(－855°).解tan(－855°)＝－tan855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan135°＝－tan(180°－45°)＝tan45°＝1.,解sin(－α－180°)＝sin[－(180°＋α)]＝－sin(180°＋α)＝－(－sinα)＝sinα，cos(－180°－α)＝cos[－(180°＋α)]＝cos(180°＋α)＝－cosα，,反思与感悟利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值.,,,反思与感悟对于给值求值问题，要注意观察题目条件中的角与所求问题中的角之间的联系，然后选择恰当的诱导公式进行转化，一般采用代入法求值.,跟踪训练3已知cos(π＋α)＝－，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值.解∵cos(π＋α)＝－cosα＝－，∴cosα＝，∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cosα)＝－sinα－cosα＝－(sinα＋cosα),当堂测·查疑缺12341.求下列三角函数的值.(1)sin690°；解sin690°＝sin(360°＋330°)＝sin330°＝sin(180°＋150°)＝－sin150°＝－sin(180°－30°)＝－sin30°＝－.,1234,1234(3)tan(－1845°).解tan(－1845°)＝tan(－5×360°－45°)＝tan(－45°)＝－tan45°＝－1.,1234,1234解当k＝2n(n∈Z)时，,1234当k＝2n＋1(n∈Z)时，综上，原式＝－1.,1234证明当n为偶数时，令n＝2k，k∈Z，,1234右边＝(－1)2kcosα＝cosα，∴左边＝右边.当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈Z，,1234右边＝(－1)2k－1cosα＝－cosα，∴左边＝右边.,呈重点、现规律1.明确各诱导公式的作用诱导公式作用公式一将角转化为0～2π之间的角求值公式二将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值公式三将负角转化为正角求值公式四,2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.