§1.4三角函数的图象与性质1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一),明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺04,1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.明目标、知重点,1.函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个，使得当x取定义域内的时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的.非零常数T填要点·记疑点每一个值f(x＋T)＝f(x)最小正周期,2.正弦函数、余弦函数的周期性由sin(x＋2kπ)＝，cos(x＋2kπ)＝cosx(k∈Z)知y＝sinx与y＝cosx都是函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π.3.正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数y＝sinx与余弦函数y＝cosx的定义域都是__，定义域关于对称.sinx周期原点R,(2)由sin(－x)＝知正弦函数y＝sinx是R上的函数，它的图象关于对称.(3)由cos(－x)＝知余弦函数y＝cosx是R上的偶函数，它的图象关于对称.－sinx奇原点cosxy轴,探要点·究所然情境导学自然界存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等.数学中从正弦函数和余弦函数的定义知，角α的终边每转一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，需引入一个新的数学概念——函数周期性.,探究点一　周期函数的定义思考1观察正弦函数图象知，正弦曲线每相隔2π个单位重复出现其理论依据是什么？答诱导公式sin(x＋2kπ)＝sinx(k∈Z)当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现.数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律.,思考2设f(x)＝sinx，则sin(x＋2kπ)＝sinx可以怎样表示？把函数f(x)＝sinx称为周期函数，那么，一般地，如何定义周期函数呢？答f(x＋2kπ)＝f(x)(k∈Z)这就是说：当自变量x的值增加到x＋2kπ时，函数值重复出现.一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.,小结为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)＝sinx称为周期函数，2kπ为这个函数的周期(其中k∈Z且k≠0).,思考3正弦函数y＝sinx的周期是否唯一？正弦函数y＝sinx的周期有哪些？答正弦函数y＝sinx的周期不止一个.±2π，±4π，±6π，…都是正弦函数的周期，事实上，任何一个常数2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期.,探究点二　最小正周期导引如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.周期函数不一定都有最小正周期.如：f(x)＝C(C为常数，x∈R)，对于非零实数T都是它的周期，而最小正周期不存在.,思考我们知道±2π，±4π，±6π，…都是y＝sinx的周期，那么函数y＝sinx有最小正周期吗？若有，那么最小正周期T等于多少？答正弦函数y＝sinx有最小正周期，且最小正周期T＝2π.小结如果非零常数T是函数y＝f(x)的一个周期，那么kT(k∈Z且k≠0)都是函数y＝f(x)的周期.例如，正弦函数y＝sinx和余弦函数y＝cosx的最小正周期都是2π，它们的所有周期可以表示为2kπ(k∈Z且k≠0).,探究点三　函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝A·cos(ωx＋φ))(A>0，ω≠0)的周期思考求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期？答由诱导公式一知：对任意x∈R，都有Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝Asin(ωx＋φ)，,,探究点四　正弦、余弦函数的奇偶性导引正弦曲线余弦曲线,思考1观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？答正弦函数y＝sinx的图象关于原点对称，余弦函数y＝cosx的图象关于y轴对称.思考2上述对称性反映出正弦、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？答正弦函数是R上的奇函数，余弦函数是R上的偶函数.根据诱导公式得，sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx均对一切x∈R恒成立.,例1求下列三角函数的周期.(1)y＝3cosx，x∈R；解∵3cos(x＋2π)＝3cosx，∴自变量x只要并且至少要增加到x＋2π，函数y＝3cosx，x∈R的值才能重复出现，所以，函数y＝3cosx，x∈R的周期是2π.,(2)y＝sin2x，x∈R；解∵sin(2x＋2π)＝sin2(x＋π)＝sin2x，∴自变量x只要并且至少要增加到x＋π，函数y＝sin2x，x∈R的值才能重复出现，所以，函数y＝sin2x，x∈R的周期是π.,∴自变量x只要并且至少要增加到x＋4π，,,跟踪训练1求下列函数的周期：(1)y＝cos2x；(3)y＝|cosx|.,解∵f(x)的最小正周期是π，∵f(x)是R上的偶函数，,反思与感悟解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内.,B,∴f(x)是偶函数.,(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)；∴f(x)的定义域关于原点对称.又∵f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]＝lg(1＋sinx)－lg(1－sinx)＝－f(x).∴f(x)为奇函数.,解∵1＋sinx≠0，∴sinx≠－1，∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数.,反思与感悟判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提条件，然后再判断f(－x)与f(x)之间的关系.,解f(x)＝sin2x＋x2sinx，又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)＝－sin2x－x2sinx＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.,∴f(x)既是奇函数又是偶函数.,当堂测·查疑缺1234B,1234D,12343.已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，则f(8)＝.解析∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，3就是它的一个周期，且f(－x)＝－f(x).∴f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.－2,1234,1234∴f(－x)＝－f(x).∴f(x)为奇函数.,呈重点、现规律1.求函数的最小正周期的常用方法(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T.如y＝|sinx|.(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝.2.判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称.