§1.6三角函数模型的简单应用,明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺04,会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.明目标、知重点,1.三角函数的周期性y＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝；y＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝；y＝Atan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝.填要点·记疑点,2.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的性质(1)ymax＝，ymin＝.(2)A＝，k＝.(3)ω可由ω＝确定，其中周期T可观察图象获得.(4)由ωx1＋φ＝，ωx2＋φ＝，ωx3＋φ＝，ωx4＋φ＝，ωx5＋φ＝中的一个确定φ的值.A＋k－A＋k0π2π,3.三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.周期,探要点·究所然情境导学生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替四季轮回，潮涨潮落、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，用数学语言可以说这些现象具有周期性，而我们所学的三角函数是刻画周期变化数量的典型函数模型，这节课我们就来通过几个具体例子，来研究这种三角函数模型的简单应用.,探究点一　利用基本三角函数的图象研究其他函数思考怎样作出函数y＝|sinx|的图象，并根据图象判断其周期和单调区间？答函数y＝sinx位于x轴上方的图象不动，位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方即可得到函数y＝|sinx|的图象，如下图所示：,,小结一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到.例如：(1)由函数y＝f(x)的图象要得到y＝|f(x)|的图象，只需将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不动，即“上不动，下翻上”.(2)由函数y＝f(x)的图象要得到y＝f(|x|)的图象，应保留y＝f(x)位于y轴右侧的图象，去掉y轴左侧的图象，再由y轴右侧的图象翻折得到y轴左侧的图象，即“右不动，右翻左”.,例1(1)作出函数y＝|cosx|的图象，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间.解y＝|cosx|图象如图所示.由图象可知：T＝π；y＝|cosx|是偶函数；,(2)作出函数y＝sin|x|的图象并判断其周期性.解∵sin(－x)＝－sinx，∴其图象如图.由图象可知，函数y＝sin|x|不是周期函数.,反思与感悟结合三角函数图象的特点，一般地有以下结论：①y＝|sinx|的周期是π；②y＝|cosx|的周期是π；③y＝|tanx|的周期是π；④y＝|Asin(ωx＋φ)|(Aω≠0)的周期是；⑤y＝|Asin(ωx＋φ)＋k|(Aωk≠0)的周期是.,跟踪训练1求下列函数的周期：,探究点二　三角函数模型的应用思考1数学模型是什么，什么是数学模型的方法？答简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.,思考2上述的数学模型是怎样建立的？答解决问题的一般程序是：1°审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2°建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型；3°求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；4°还原：把数学结论还原为实际问题的解答.,思考3怎样处理搜集到的数据？答画出散点图，分析它的变化趋势，确定合适的函数模型.小结利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下：(1)收集数据，画出“散点图”；(2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；(3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体分析.,探究点三　三角函数模型在物理学中的应用例2如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.(1)求这一天6～14时的最大温差；解由图可知：这段时间的最大温差是20℃；,(2)写出这段曲线的函数解析式.,,反思与感悟①本例中所给出的一段图象实际上只取6～14即可，这恰好是半个周期，注意抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围，这点往往被忽略掉.②如果实际问题中，某种变化着的现象具有一定的周期性，那么它就可以借助三角函数来描述，从而构建三角函数模型.,跟踪训练2下图表示电流I与时间t的函数关系式：I＝Asin(ωt＋φ)在同一周期内的图象.(1)据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；,,(2)为使I＝Asin(ωt＋φ)中t在任意一段的时间内电流I能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？故最小正整数为ω＝629.,例3某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：小时)而周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：t(时)03691215182124y(米)1.01.41.00.61.01.40.90.51.0,(1)试在图中描出所给点；解描出所给点如图所示：,(2)观察图，从y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b，y＝Acos(ωt＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；解由(1)知选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适.令A>0，ω>0，|φ|<π.故所求拟合模型的解析式为,(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间.,即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，注意到t∈[0,24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24.再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当.,反思与感悟数据拟合问题实质上是根据题目提供的数据画出简图，求相关三角函数的解析式进而研究实际问题.在求解具体问题时需弄清A，ω，φ的具体含义，只有把握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化.,处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤：1.根据原始数据给出散点图.2.通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.3.根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.4.利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.,跟踪训练3某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：t(小时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0,据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数模型y＝Asinωt＋B的图象.,(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asinωt＋B的解析式；解从拟合的曲线可知，函数y＝Asinωt＋B的一个周期为12小时，因此ω＝＝.又ymin＝7，ymax＝13，∴A＝(ymax－ymin)＝3，B＝(ymax＋ymin)＝10.∴函数的解析式为y＝3sint＋10(0≤t≤24).,(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)解由题意，得水深y≥4.5＋7，即y＝3sint＋10≥11.5，t∈[0,24]，,∴t∈[1,5]或t∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港.若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时.,当堂测·查疑缺12341.方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内()A.没有根B.有且仅有一个根C.有且仅有两个根D.有无穷多个根C,12342.如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是()(,1234答案C,1234,12344.如图所示，一个摩天轮半径为10m，轮子的底部在地面上2m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.,1234(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；,1234(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17m.故此人有10s相对于地面的高度不小于17m.,呈重点、现规律1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用.2.三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象.(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合.(3)利用三角函数模型解决实际问题.(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.