§2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义,明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺04,1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性.明目标、知重点,如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作，即a＋b＝＝.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则.对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝＋＝.1.向量的加法法则(1)三角形法则a＋b填要点·记疑点0aa,(2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a，b，作则O、A、B三点不共线，以，为邻边作，则以O为起点的对角线上的向量＝a＋b，这个法则叫做两个向量加法的平行四边形法则.2.向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝.(2)结合律：(a＋b)＋c＝.OAOB平行四边形b＋aa＋(b＋c),探要点·究所然情境导学两个实数可以相加，从而给数赋予了新的内涵.如果向量仅停留在概念的层面上，那是没有多大意义的.我们希望两个向量也能相加，拓展向量的数学意义，提升向量的理论价值，这就需要建立相关的原理和法则.,探究点一　向量加法的三角形法则导引两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量.一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法.如图所示，是上海到台北的航线示意图：一是经香港转停到台北；二是由上海直接飞往台北.,通过上面地图中客机的位移，我们得到向量加法的三角形法则：,思考1使用向量加法的三角形法则具体做法是什么？答先把两个向量首尾顺次相接，然后连接第一个向量的始点和后一个向量的终点，并指向后一个向量的终点，就得到两个向量的和向量.,思考2当向量a，b是共线向量时，a＋b又如何作出？答(1)当a与b同向时：,(2)当a与b反向时：,思考3|a＋b|与|a|和|b|之间的大小关系如何？答当a与b同向共线时，a＋b与a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.当a与b反向共线时，若|a|>|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.,探究点二　向量加法的平行四边形法则思考1向量加法还可以用平行四边形法则，其具体做法是什么？答先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就是这两个已知向量的和.,对于零向量与任一向量a，我们规定：a＋0＝0＋a＝a.,思考2实数的加法运算满足交换律、结合律，即对任意a，b∈R，都有a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).那么向量的加法也满足交换律、结合律吗？如何检验？答向量的加法满足交换律，根据下图中的平行四边形ABCD验证向量加法的交换律：a＋b＝b＋a.,∴a＋b＝b＋a.向量的加法也满足结合律，根据下图中的四边形，验证向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).,∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).,思考3向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系？答向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别：①三角形法则中强调“首尾相连”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和.联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.,例1如图，已知向量a、b，求作向量a＋b.,反思与感悟已知向量a与向量b，要作出和向量a＋b，关键是准确规范地依据平行四边形法则作图.,跟踪训练1如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点.0,探究点三　向量加法的多边形法则向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量.,这是一个极其简单却非常有用的结论(如图).,利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和有时非常有效.例如，在正六边形ABCDEF中，0,例2化简：,反思与感悟解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序.,,当堂测·查疑缺12341.如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是(),1234故选D.答案D,12342.设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式：0,12343.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于()D,1234,呈重点、现规律1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的.当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则.2.向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行.