§2.2平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其几何意义,明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺04,1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题.明目标、知重点,1.向量数乘运算：实数λ与向量a的积是一个，这种运算叫做向量的，记作，其长度与方向规定如下：(1)|λa|＝.向量填要点·记疑点(2)λa(a≠0)的方向特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝或λ0＝.数乘λa|λ||a|λ>0λ<000,2.向量数乘的运算律(1)λ(μa)＝.(2)(λ＋μ)a＝.(3)λ(a＋b)＝.特别地，有(－λ)a＝＝；λ(a－b)＝.(λμ)aλa＋μaλa＋λb－(λa)λ(－a)λa－λb,3.共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使.4.向量的线性运算：向量的、、运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝.b＝λa加减数乘λμ1a±λμ2b,探要点·究所然情境导学引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现.如力与加速度的关系F＝ma，位移与速度的关系s＝vt.这些公式都是实数与向量间的关系.,师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？生：a＋a＋a的长度是a的长度的3倍，其方向与a的方向相同，(－a)＋(－a)＋(－a)的长度是a长度的3倍，其方向与a的方向相反.师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题.,探究点一　向量数乘运算的物理背景思考1一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量v，那么在同方向上3秒钟的位移对应的向量用3v表示，试在直线l上画出3v向量，看看向量3v与v的关系如何？答∴3v与v的方向相同，|3v|＝3|v|.,思考2已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)，你能说明它们与向量a之间的关系吗？答＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.,思考3一般地，我们规定：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作λa，该向量的长度与方向与向量a有什么关系？答λa仍然是一个向量.(1)|λa|＝|λ||a|；(2)λ>0时，λa与a方向相同；λ<0时，λa与a方向相反；λ＝0时，λa＝0.方向任意.,探究点二　向量数乘的运算律思考1根据实数与向量积的定义，可以得哪些数乘运算律？答设λ，μ∈R，则有①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.,思考2向量等式的证明依据是相等向量的定义，既要证明等式两边的模相等，又要证明方向相同.你能根据这两条证明其中的第①条运算律吗？答①λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R).如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则①式显然成立；如果λ≠0，μ≠0，a≠0，则由向量数乘的定义有|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|，故|λ(μa)|＝|(λμ)a|.,如果λ、μ同号，则①式两边向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两边向量的方向都与a反向.因此，向量λ(μa)与(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以λ(μa)＝(λμ)a.,例1计算：(1)(－3)×4a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c).解(1)原式＝(－3×4)a＝－12a；(2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；(3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c.,反思与感悟向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.,跟踪训练1计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；解原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.,(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c).解原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.,思考1请观察a＝m－n，b＝－2m＋2n，回答a、b有何关系？答因为b＝－2a，所以a、b是平行向量.思考2若a、b是平行向量(a≠0)能否得出b＝λa？为什么？答可以.因为a、b平行，它们的方向相同或相反.探究点三　共线向量定理及应用,小结由向量数乘的含义，我们容易得到向量共线的等价条件：如果a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.对此定理的证明，是两层来说明的：其一，若存在实数λ，使b＝λa，则由实数与向量乘积定义可知b与λa平行，即b与a平行.其二，若b与a平行，且不妨令a≠0，设＝μ(这是实数概念).接下来看a、b方向如何：①a、b同向，则b＝μa，②若a、b反向，则记b＝－μa，总而言之，存在实数λ(λ＝μ或λ＝－μ)使b＝λa.,例2已知e1，e2是不共线的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，则a与b是否共线？解若a与b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，即3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)，所以(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0，所以λ不存在，所以a与b不共线.,反思与感悟(1)本题充分利用了向量共线定理，即b与a(a≠0)共线⇔b＝λa，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值.(2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线.,跟踪训练2已知非零向量e1，e2不共线.,(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值.解∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，即(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，,探究点四　三点共线的判定,令1－λ＝α，λ＝β，则,,观察发现，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线.,,反思与感悟本题给出了证明三点共线的方法，利用向量共线定理，关键是找到唯一实数λ，使a＝λb，先证向量共线，再证三点共线.,＝10e1＋15e2.,当堂测·查疑缺12341.化简：(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；解原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c＝6a＋4b.,1234,1234,1234,12344.已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共线，向量c＝2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？解∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，,1234故存在这样的实数λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线.,呈重点、现规律1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的.2.λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍.向量表示与向量a同向的单位向量.3.共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题.,谢谢观看