§2.2平面向量的线性运算2.3.4平面向量共线的坐标表示,明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺04,1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法.明目标、知重点,1.两向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).(1)当a∥b时，有.(2)当a∥b且x2y2≠0时，有即两向量的相应坐标成比例.x1y2－x2y1＝0填要点·记疑点,2.若则P与P1、P2三点共线.当λ∈时，P位于线段P1P2的内部，特别地λ＝1时，P为线段P1P2的中点；当λ∈时，P位于线段P1P2的延长线上；当λ∈时，P位于线段P1P2的反向延长线上.(0，＋∞)(－∞，－1)(－1,0),探要点·究所然情境导学前面，我们学习了平面向量可以用坐标来表示，并且向量之间可以进行坐标运算.这就为解决问题提供了方便.我们又知道共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得b＝λa，那么这个条件是否也能用坐标来表示？因此，我们有必要探究一下这个问题：两向量共线的坐标表示.,探究点一　平面向量共线的坐标表示思考1a与非零向量b为共线向量的等价条件是有且只有一个实数λ使得a＝λb.那么这个共线向量定理如何用坐标来表示？答向量a，b共线(其中b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0,思考2设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0，请写出证明过程.答∵a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0.∴x2，y2不全为0，不妨假设x2≠0.∵a∥b，∴存在实数λ，使a＝λb，即(x1，y1)＝λ(x2，y2)＝(λx2，λy2)，,,思考3如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？答当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向.例如，向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3,6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向等.,例1已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？解ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，∵ka＋b与a－3b平行，,反思与感悟此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.,方法一∵(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4<0，,例2已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(2,5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.∵直线AB、AC有公共点A，∴A、B、C三点共线.,反思与感悟利用共线向量是判断三点共线的一种常用方法，其实质是从同一点出发的两个向量共线，则这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的，而利用共线向量更加简捷.,跟踪训练2已知三点A(1,2)，B(2,4)，C(3，m)共线，试求m的值.即(1,2)＝λ(2，m－2)＝(2λ，λm－2λ).即m＝6时，A，B，C三点共线.,思考1设P1、P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)，求线段P1P2的中点P的坐标.答如图所示，∵P为P1P2的中点，探究点二　共线向量与中点坐标公式,思考2设P1、P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2).点P是线段P1P2的一个三等分点，求P点的坐标.答点P是线段P1P2的一个三等分点，分两种情况：,,思考3已知△ABC的三个顶点坐标依次为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3).求△ABC的重心G的坐标.答延长AG交BC于点D，∵G为△ABC的重心，∴D为BC的中点，,,,,则(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)，∴P点坐标为(－5,8).,反思与感悟在求有向线段分点坐标时，不必过分强调公式记忆，可以转化为向量问题后解方程组求解，同时应注意分类讨论.,∴x2＋y2＝52.∴4λ2＋9λ2＝52，λ＝2(λ>0).,当堂测·查疑缺12341.下列各组的两个向量共线的是()A.a1＝(－2,3)，b1＝(4,6)B.a2＝(1，－2)，b2＝(7,14)C.a3＝(2,3)，b3＝(3,2)D.a4＝(－3,2)，b4＝(6，－4)D,12342.已知a＝(－1,2)，b＝(2，y)，若a∥b，则y的值是()A.1B.－1C.4D.－4解析∵a∥b，∴(－1)×y－2×2＝0，∴y＝－4.D,1234D,12344.给定两个向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若a＋2b与2a－2b共线，求λ的值.解∵a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，又a＋2b与2a－2b共线，∴2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，∴λ＝.,呈重点、现规律1.两个向量共线条件的表示方法已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(1)当b≠0，a＝λb.(2)x1y2－x2y1＝0.(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例.,2.向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面.(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.