§2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(二),明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺04,1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.明目标、知重点,1.向量的数量积(内积)叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝.叫做向量a在b方向上的投影，叫做向量b在a方向上的投影.2.向量数量积的性质设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.(1)a·e＝e·a＝；(2)a⊥b⇒a·b＝且a·b＝⇒a⊥b；|a||b|cos〈a，b〉填要点·记疑点|a||b|cos〈a，b〉|a|cosθ|b|cosθ|a|cos〈a，b〉00,(3)a·a＝或|a|＝；(4)cos〈a，b〉＝；(5)|a·b||a||b|.3.向量数量积的运算律(1)a·b＝(交换律)；(2)(λa)·b＝＝(结合律)；(3)(a＋b)·c＝(分配律).|a|2≤b·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c,探要点·究所然情境导学引进向量的数量积以后，考察一下这种运算的运算律是非常必要的.向量a、b的数量积a·b虽与代数中数a、b的乘积ab形式相似，实质差别很大.实数中的一些运算性质不能随意简单地类比到向量的数量积上来.,探究点一　向量数量积运算律的提出思考1类比实数的运算律，向量的数量积是否具有类似的特征？先写出类比后的结论，再判断正误(完成下表)：运算律实数乘法向量数量积判断正误交换律ab＝ba结合律(ab)c＝a(bc)分配律(a＋b)c＝ac＋bc消去律ab＝bc(b≠0)⇒a＝ca·b＝b·a正确(a·b)c＝a(b·c)错误(a＋b)·c＝a·c＋b·c正确a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c错误,思考2在上述类比得到的结论中，对向量数量积不再成立的有哪些？试各举一反例说明.答(a·b)c＝a(b·c)不成立，因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)，一般情况下不会成立.a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c不成立，如图所示.显然a·b＝b·c，且a≠c.,探究点二　向量数量积的运算律已知向量a，b，c和实数λ，向量的数量积满足下列运算律：①a·b＝b·a(交换律)；②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).,思考1如何证明a·b＝b·a？对于实数λ，(λa)·b有意义吗？它可以转化为哪些运算？答a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，b·a＝|b||a|cos〈b，a〉，∵〈a，b〉＝〈b，a〉，cos〈a，b〉＝cos〈b，a〉，∴a·b＝b·a.(λa)·b有意义，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).,思考2如何证明(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(提示：分λ＝0，λ>0，λ<0三种情况讨论)答当λ＝0时，0·b＝0·(a·b)＝a·0＝0.当λ>0时，(λa)·b＝|λa||b|cos〈λa，b〉＝λ|a||b|cos〈λa，b〉，λ(a·b)＝λ|a||b|cos〈a，b〉，a·(λb)＝|a||λb|cos〈a，λb〉＝λ|a||b|cos〈a，λb〉；∵λ>0时，cos〈λa，b〉＝cos〈a，b〉＝cos〈a，λb〉，,∴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).当λ<0时，(λa)·b＝|λa||b|cos〈λa，b〉＝－λ|a||b|cos〈λa，b〉，λ(a·b)＝λ|a||b|cos〈a，b〉，a·(λb)＝|a||λb|cos〈a，λb〉＝－λ|a||b|cos〈a，λb〉，∵λ<0时，cos〈λa，b〉＝cos〈a，λb〉＝－cos〈a，b〉，∴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).综上所述，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).,思考3如何证明分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c.证明：当a＋b与向量c夹角为直角时，如图(1)所示，向量a＋b在向量c方向上的投影|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝；向量a在向量c方向上的投影为|a|cos〈a，c〉＝OA1，向量b在向量c方向上的投影为|b|cos〈b，c〉＝OB1，易知OA1与OB1互为相反数，即OA1＋OB1＝0.图(1)0,所以|a|cos〈a，c〉＋|b|cos〈b，c〉＝|a＋b|cos〈a＋b，c〉.两边乘以|c|得：|a||c|cos〈a，c〉＋|b||c|cos〈b，c〉＝|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉，∴a·c＋b·c＝(a＋b)·c，即(a＋b)·c＝a·c＋b·c.当a＋b与向量c夹角为锐角时，如图(2)所示，图(2),向量a＋b在向量c方向上的投影为|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝OC1；向量a在向量c方向上的投影为|a|cos〈a，c〉＝OA1，向量b在c方向上的投影为|b|cos〈b，c〉＝OB1，∵OC1＝OA1＋A1C1，A1C1＝OB1，∴OC1＝OA1＋OB1，∴|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝|a|cos〈a，c〉＋|b|cos〈b，c〉.,两边同乘以|c|得：|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉＝|a||c|cos〈a，c〉＋|b|·|c|cos〈b，c〉，即(a＋b)·c＝a·c＋b·c.当a＋b与向量c夹角为钝角时，如图(3)所示，同理可证得(a＋b)·c＝a·c＋b·c.图(3),探究点三　平面向量数量积的运算性质思考实数中，某些多项式乘法公式“移植”到平面向量的数量积运算中仍然成立，请根据下面多项式乘法中的一些乘法公式类比相应的向量数量积的运算性质.,多项式乘法向量数量积(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a－b)2＝a2－2ab＋b2(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2(a－b)2＝a2－2a·b＋b2(a＋b)·(a－b)＝a2－b2(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a,表中的结论可以用作公式使用：例如，若向量a、b、c满足a＋b＋c＝0且|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a＝________.解析方法一　由已知得|c|＝|a|＋|b|，c＝－a－b，可知向量a与b同向，而向量c与它们反向.∴有a·b＋b·c＋c·a＝3cos0°＋4cos180°＋12cos180°＝3－4－12＝－13.,方法二∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)，答案－13,例1给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________.解析因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确.④,反思与感悟向量的数量积a·b与实数a、b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处.例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律，即一般情况下(a·b)·c≠a·(b·c).,跟踪训练1设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：①a·c－b·c＝(a－b)·c；②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；③|a|－|b|<|a－b|；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的序号是________.解析根据向量积的分配律知①正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，,∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；因为a，b不共线，所以|a|、|b|、|a－b|组成三角形三边，∴|a|－|b|<|a－b|成立，③正确；④正确.故正确命题的序号是①③④.答案①③④,例2已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b).解(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－a·b－6b·b＝|a|2－a·b－6|b|2＝|a|2－|a|·|b|cosθ－6|b|2＝62－6×4×cos60°－6×42＝－72.反思与感悟熟练掌握两向量的数量积定义及运算性质，是解决此类问题的关键.计算形如(ma＋nb)·(pa＋qb)的数量积可仿多项式乘法的法则展开计算，再运用数量积定义和模的公式化简求解.,跟踪训练2已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)(2a－b)·(a＋3b)；解(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×16＋5×4×2×cos120°－3×4＝0.,(2)|3a－4b|.解|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝16×19，∴|3a－4b|＝4.,例3已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直？解a＋kb与a－kb互相垂直的条件是(a＋kb)·(a－kb)＝0，即a2－k2b2＝0.∵|a|＝3，|b|＝4，∴9－16k2＝0，∴k＝±.当k＝±时，a＋kb与a－kb互相垂直.,反思与感悟向量a，b夹角为锐角的等价条件是a·b>0且a与b不同向共线；a·b夹角为钝角的等价条件是a·b<0且a与b不反向共线；a与b垂直的等价条件是a·b＝0.,跟踪训练3已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角？解∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去.综上，k的取值范围为k>0且k≠1.,当堂测·查疑缺12341.下面给出的关系式中正确的个数是()①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.A.1B.2C.3D.4解析①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a||b|·cosθ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2，选C.C,12342.设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于()A.1B.2C.3D.5解析|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，∴a·b＝1.A,12343.已知|a|＝1，|b|＝，且a＋b与a垂直，则a与b的夹角是()A.60°B.30°C.135°D.45°解析∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴a·b＝－a2＝－1，∴〈a，b〉＝135°.C,12344.已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________.解析由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.－8或5,呈重点、现规律1.数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a|·|c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，两者一般不同.2.在实数中，若ab＝0则a＝0或b＝0，但是在数量积中，即使a·b＝0，也不能推出a＝0或b＝0，因为其中cosθ有可能为0.3.在实数中，若ab＝bc，b≠0则a＝c，在向量中a·b＝b·c，b≠0⇒a＝c./