§2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(一),明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺04,1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.明目标、知重点,1.两个向量的夹角(1)已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，则称作向量a和向量b的夹角，记作，并规定它的范围是.在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝.(2)当时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作.∠AOB填要点·记疑点〈a，b〉0≤〈a，b〉≤π〈b，a〉a⊥b,2.平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝，其中θ是a与b的夹角.(2)规定：零向量与任一向量的数量积为0.(3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向的投影是，向量b在a方向上的投影是.|a||b|cosθ|a||b|cosθ|a|cosθ|b|cosθ,3.数量积的几何意义a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的乘积.|b|cosθ,探要点·究所然探究点一　平面向量数量积的含义思考1如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少？答W＝|F||s|cosθ.,思考2对于两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cosθ，那么a·b的运算结果是向量还是数量？特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？答a·b的运算结果是数量.0·a＝0.,思考3对于两个非零向量a与b，夹角为θ，其数量积a·b何时为正数？何时为负数？何时为零？答当0°≤θ<90°时，a·b>0；当90°<θ≤180°时，a·b<0；当θ＝90°时，a·b＝0.小结已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角，θ∈[0，π].规定：零向量与任一向量的数量积为0.,思考4向量的数量积与数乘向量的区别是什么？答向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；数乘向量λa是一个向量，既有大小，又有方向.,例1已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.解(1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，a·b＝|a|·|b|·cos0°＝4×5＝20；若a与b反向，则θ＝180°，∴a·b＝|a|·|b|cos180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a|·|b|cos90°＝0.(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a|·|b|cos30°＝4×5×＝10.,反思与感悟求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a|·|b|·cosθ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去.,跟踪训练1已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积.解(1)当a∥b时，若a与b同向，则a与b的夹角θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cosθ＝4×3×cos0°＝12.若a与b反向，则a与b的夹角为θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝4×3×(－1)＝－12.,(2)当a⊥b时，向量a与b的夹角为90°，∴a·b＝|a||b|cos90°＝4×3×0＝0.(3)当a与b的夹角为60°时，∴a·b＝|a||b|cos60°＝4×3×＝6.,探究点二　投影思考1对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影.那么该投影一定是正数吗？向量b在a方向上的投影是什么？答不一定；|b|cosθ.小结我们把|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影，其中θ为向量a与b的夹角.由数量积的定义a·b＝|a||b|cosθ可得：|a|cosθ＝；|b|cosθ＝.,思考2根据投影的概念，数量a·b＝|a||b|cosθ的几何意义如何？答数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影|a|·cosθ的乘积.,例2已知a·b＝－9，a在b方向上的投影为－3，b在a方向上的投影为－，求a与b的夹角θ.,反思与感悟(1)理清“谁在谁上”的投影，再列方程，将条件转化解决.(2)注意数量积公式的变形式的灵活应用.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.,跟踪训练2已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的投影.解(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2＝2×12＋1×1×cos120°－12＝.,探究点三　平面向量数量积的性质思考1设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？答a⊥b⇔a·b＝0.思考2当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？答当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；a·a＝a2＝|a|2或|a|＝.,思考3|a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？答|a·b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ.两边取绝对值得：|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|.当且仅当|cosθ|＝1，即cosθ＝±1，θ＝0或π时，取“＝”.所以|a·b|≤|a||b|.cosθ＝.,例3已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|.,反思与感悟此类求解向量的模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方.,跟踪训练3已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角.解∵e1，e2为单位向量且夹角为60°，∴e1·e2＝1×1×cos60°＝.∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1),又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.∴a与b的夹角为120°.,当堂测·查疑缺12341.已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的投影为()A.4B.－4C.2D.－2解析b在a方向上的投影为|b|cos〈a，b〉＝4×cos120°＝－2.D,12342.若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝___.解析a·a＋a·b＝12＋1×1×cos120°＝.,1234C＝90°.,1234答案－25,1234,1234,1234,呈重点、现规律1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时).2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.,3.b在a方向上的投影：|b|cosθ＝是一个数量而不是向量.具体情况可以借助下表分析：θ的范围θ＝0°0°<θ<90°θ＝90°90°<θ<180°θ＝180°图形,b在a方向上的投影的正负正正0负负