§2.4平面向量的数量积2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角,明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺04,1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.明目标、知重点,1.平面向量数量积的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝.即两个向量的数量积等于.2.两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔.x1x2＋y1y2填要点·记疑点相应坐标乘积的和x1x2＋y1y2＝0,3.平面向量的模(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝.(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝.4.向量的夹角公式设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝.,探要点·究所然情境导学在平面直角坐标系中，平面向量可以用有序实数对来表示，两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面向量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示？通过回顾两个向量的数量积的定义及向量的坐标表示，在此基础上推导、探索平面向量数量积的坐标表示.,探究点一　平面向量数量积的坐标表示思考1已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用a与b的坐标表示a·b?答∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2.又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，∴a·b＝x1x2＋y1y2.,思考2若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，这就是平面向量数量积的坐标表示.你能用文字描述这一结论吗？答两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.,例1已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐标；解设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4).(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.解∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝1×2＋2×4＝10，∴a(b·c)＝0a＝0，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10).,反思与感悟两个向量的数量积是实数，这和前面三种运算性质不同.同时本例进一步验证了平面向量的数量积不满足结合律.,跟踪训练1若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c＝____________；a·(b·c)＝____________.解析∵a·b＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8，∴(a·b)·c＝－8×(2,1)＝(－16，－8).∵b·c＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4，∴a·(b·c)＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12).(－16，－8)(－8，－12),探究点二　平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式思考1若a＝(x，y)，如何计算向量的模|a|?答∵a＝xi＋yj，∴a2＝(xi＋yj)2＝(xi)2＋2xyi·j＋(yj)2＝x2i2＋2xyi·j＋y2j2.又∵i2＝1，j2＝1，i·j＝0，∴a2＝x2＋y2，∴|a|2＝x2＋y2，∴|a|＝.,思考2如图，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量的模？＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，,思考1设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a⊥b，则x1，y1，x2，y2之间的关系如何？反之成立吗？答a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.思考2设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，那么cosθ如何用坐标表示？探究点三　平面向量夹角的坐标表示,例如，(1)若a＝(3,0)，b＝(－5,5)，则a与b的夹角为________.(2)已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是________三角形.直角,例2已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角.解设a与b的夹角为θ，则a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a与b的夹角为直角，所以cosθ＝0，所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－.(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cosθ<0且cosθ≠－1，,所以a·b<0且a与b不反向.由a·b<0得1＋2λ<0，故λ<－，由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向.(3)因为a与b的夹角为锐角，所以cosθ>0，且cosθ≠1，所以a·b>0且a，b不同向.由a·b>0，得λ>－，由a与b同向得λ＝2.,反思与感悟由于两个非零向量a，b的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cosθ＝来判断，可将θ分五种情况：cosθ＝1，θ＝0°；cosθ＝0，θ＝90°；cosθ＝－1，θ＝180°；cosθ<0且cosθ≠－1，θ为钝角；cosθ>0且cosθ≠1，θ为锐角.,跟踪训练2已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围.解∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，∵a，b的夹角α为钝角.∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1).,例3已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求与点D的坐标.解设点D的坐标为(x，y)，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3).,∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.即2x＋y－3＝0.②,,反思与感悟在几何中利用垂直及模来求解点的题型是一种常见题型，其处理方法：设出点的坐标，利用垂直及模长列出方程组进行求解.,跟踪训练3以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角△OAB，∠B＝90°，求点B和的坐标.可得10x＋4y＝29，①,即x2－5x＋y2－2y＝0，②,当堂测·查疑缺12341.已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为()B又∵a，b的夹角范围为[0，π].,12342.已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于()A.1B.C.2D.4解析∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，∴n2＝3.∴|a|＝＝2.C,12345,4.已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.解析∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)，∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c＝a－6b，∴c2＝a2－12a·b＋36b2＝20－12×6＋36×5＝128.∴|c|＝8.12348,呈重点、现规律1.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算.为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持.2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.,3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.