§2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法,明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺04,1.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其它一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力.明目标、知重点,1.向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b⇔⇔.x1y2－x2y1＝0填要点·记疑点a·b＝0x1x2＋y1y2＝0,(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝＝.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝.,2.直线的方向向量和法向量(1)直线y＝kx＋b的方向向量为，法向量为.(2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为，法向量为.(1，k)(k，－1)(B，－A)(A，B),探要点·究所然情境导学向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景，当向量和平面坐标系结合后，向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法.,探究点一　直线的方向向量与两直线的夹角思考1直线y＝kx＋b的方向向量是如何定义的？如何求？答如果向量v与直线l共线，则称向量v为直线l的方向向量.,思考2直线Ax＋By＋C＝0的方向向量如何求？答当B≠0时，k＝－，所以向量(B，－A)与(1，k)共线，所以向量(B，－A)是直线Ax＋By＋C＝0的一个方向向量；当B＝0时，A≠0，直线x＝－的一个方向向量为(0，－A)，即(B，－A).综上所述，直线Ax＋By＋C＝0的一个方向向量为v＝(B，－A).,例1已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点.(1)求直线DE、EF、FD的方程；,∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，即x－y＋2＝0为直线DE的方程.同理可求，直线EF，FD的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.,(2)求AB边上的高线CH所在直线方程.解设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程.,反思与感悟(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算.(2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为v＝(B，－A)，法向量n＝(A，B).这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关系、求两条直线的夹角时非常有用.,跟踪训练1在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线的方程.∠A的平分线的一个方向向量为：∵∠A的平分线过点A.整理得：7x＋y－29＝0.,探究点二　直线的法向量与两直线的位置关系思考1如何定义直线Ax＋By＋C＝0的法向量？答如果向量n与直线l垂直，则称向量n为直线l的法向量.因此若直线的方向向量为v，则n·v＝0.从而对于直线Ax＋By＋C＝0而言，其方向向量为v＝(B，－A)，则由于n·v＝0，于是可取n＝(A，B)，这是因为(B，－A)·(A，B)＝AB－AB＝0.直线的法向量也有无数个.,思考2如何利用直线的法向量判断两直线的位置关系？答对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，它们的法向量分别为n1＝(A1，B1)，n2＝(A2，B2).当n1∥n2时，l1∥l2或l1与l2重合.即A1B2－A2B1＝0⇔l1∥l2或l1与l2重合；当n1⊥n2时，l1⊥l2.即A1A2＋B1B2＝0⇔l1⊥l2.,用向量法处理有关直线平行、垂直、线段相等、点共线、线共点以及角度等问题时有独到之处，且解法思路清晰、简洁直观.其基本方法是：探究点三　平面向量在几何中的应用,,思考1用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？答(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.,思考2平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如右图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？答平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.,思考3请用向量法给出上述结论的证明.答证明：在平行四边形ABCD中，,例2平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？,反思与感悟解答过程易出现无从下手的情况，导致此种情况的原因是不能灵活选定基底，无法集中条件建立几何元素与向量之间的联系.,证明选{a，b}为基底.延长OG交AB于M点，∵G为△OAB的重心，∴M为AB的中点，,,当堂测·查疑缺12341.已知A(1,2)，B(－2,1)，以AB为直径的圆的方程是_________________.解析设P(x，y)为圆上任一点，则化简得x2＋y2＋x－3y＝0.x2＋y2＋x－3y＝0,12342.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若则m＋n的值为________.2,12343.正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，试求cos∠DOE的值.,1234,4.已知直线l1：3x＋y－2＝0与直线l2：mx－y＋1＝0的夹角为45°，求实数m的值.解设直线l1，l2的法向量为n1，n2，则n1＝(3,1)，n2＝(m，－1).1234整理得：2m2－3m－2＝0，,呈重点、现规律1.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明.,2.在直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)上任取两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则(λ∈R且λ≠0)也是直线l的方向向量.所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线.同理，与直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的向量都叫直线l的法向量.一条直线的法向量也有无数多个.熟知以下结论，在解题时可以直接应用.,①y＝kx＋b的方向向量v＝(1，k)，法向量为n＝(k，－1).②Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量v＝(B，－A)，法向量n＝(A，B).