§3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式,明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺04,1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.明目标、知重点,两角差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝，其中α、β为任意角．cosαcosβ＋sinαsinβ填要点·记疑点,探要点·究所然情境导学我们在初中时就知道cos45°＝，cos30°＝，由此我们能否得到cos15°＝cos(45°－30°)＝？大家可以猜想，是不是等于cos45°－cos30°呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式cos(α－β)＝？,探究点一　两角差余弦公式的探索思考1有人认为cos(α－β)＝cosα－cosβ，你认为正确吗，试举两例加以说明．答不正确．,cos(α－β)≠cosα－cosβ；cos(α－β)≠cosα－cosβ.,思考2请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想．①cos45°cos45°＋sin45°sin45°＝＝；②cos60°cos30°＋sin60°sin30°＝＝；③cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝＝；④cos150°cos210°＋sin150°sin210°＝＝．猜想：cosαcosβ＋sinαsinβ＝；即：.1cos0°cos30°0cos(－90°)cos(－60°)cos(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ,探究点二　两角差余弦公式的证明如图，以坐标原点为中心，作单位圆，以Ox为始边作角α与β，设它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，请回答下列问题：(cosα，sinα)(cosα，sinα)1(cosβ，sinβ)(cosβ，sinβ)1,α－β＝2kπ,从而，对任意角α，β均有cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.cos(α－β)cosαcosβ＋sinαsinβ,思考1若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cosα的值？答cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)·sinβ.思考2利用α－(α－β)＝β可得cosβ等于什么？答cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinα·sin(α－β)．探究点三　两角差余弦公式的应用,思考3若cosα－cosβ＝a，sinα－sinβ＝b，则cos(α－β)等于什么？,例1利用两角差余弦公式求cos75°、cos15°的值．解cos75°＝cos(120°－45°)＝cos120°·cos45°＋sin120°·sin45°cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°,反思与感悟在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题．然后利用公式化简求值．而把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：cos15°＝cos(60°－45°)，要学会灵活运用.,跟踪训练1求cos105°＋sin195°的值．解cos105°＋sin195°＝cos105°＋sin(90°＋105°)＝cos105°＋cos105°＝2cos105°＝2cos(135°－30°)＝2(cos135°cos30°＋sin135°sin30°),,,反思与感悟(1)注意角α、β的象限，也就是符号问题．(2)三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，,,,又∵β＝(α＋β)－α，,∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα,反思与感悟(1)本题属“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找区间)；③确定角的值．(2)确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．,,cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β),当堂测·查疑缺1231.cos78°cos18°＋sin78°sin18°的值为()A解析cos78°cos18°＋sin78°sin18°＝cos(78°－18°)＝cos60°＝，故选A.,1232.cos165°等于()C解析cos165°＝cos(180°－15°)＝－cos15°＝－cos(45°－30°)＝－(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝－,4.已知sinα＝－，sinβ＝，且180°<α<270°，90°<β<180°，求cos(α－β)的值.123所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ,呈重点、现规律1.给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”.注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧.,2.“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找区间)；③确定角的值.确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.