§3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一),明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺04,1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.明目标、知重点,1.两角和与差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝.C(α＋β)：cos(α＋β)＝.2.两角和与差的正弦公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝.S(α－β)：sin(α－β)＝.cosαcosβ＋sinαsinβ填要点·记疑点cosαcosβ－sinαsinβsinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ,,探要点·究所然情境导学从两角差的余弦公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？,探究点一　由公式C(α－β)推导公式C(α＋β)思考由于公式C(α－β)对于任意α，β都成立，那么把其中的＋β换成－β后，也一定成立.请你根据这种联系，从两角差的余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正弦、余弦值表示cos(α＋β)的公式？答∵α＋β＝α－(－β)，cos(－β)＝cosβ，sin(－β)＝－sinβ，∴cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cosαcos(－β)＋sinαsin(－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.即cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.,思考利用诱导公式五(或六)可以实现正弦和余弦的互化，根据这种联系，请你试着从差角的余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正弦、余弦值表示sin(α＋β)及sin(α－β)的公式？探究点二　由公式C(α－β)推导公式S(α＋β)及S(α－β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.,即sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.从而，sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sinαcos(－β)＋cosαsin(－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.,思考运用两角和与差的正弦、余弦公式化简、求值要注意灵活进行三角函数名称以及角的变换，善于构造符合某一公式的特征结构后，再运用公式化简、求值.如果题目中存在互余角，要善于发现和利用.探究点三　两角和与差的正弦、余弦公式的应用,,解原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)－cos(x＋27°)·sin(x－18°)＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋cos(x＋27°)sin(18°－x)例1化简求值：(1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；,,反思与感悟解答此类题一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式.,跟踪训练1化简求值：(1)sin14°cos16°＋sin76°·cos74°；解原式＝sin14°cos16°＋sin(90°－14°)·cos(90°－16°)＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝.(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)；解原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin90°＝1.,,,∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ,反思与感悟此类题是给值求角题，步骤如下：(1)求所求角的某一个三角函数值；(2)确定所求角的范围，此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值.,∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβsin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ,例3已知sin(2α＋β)＝3sinβ，求证：tan(α＋β)＝2tanα.证明sin(2α＋β)＝3sinβ⇒sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]⇒sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα⇒2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα⇒tan(α＋β)＝2tanα.,反思与感悟证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、“往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、结构形式的差异.,,当堂测·查疑缺1231.sin7°cos37°－sin83°cos53°的值是()A解析原式＝sin7°cos37°－cos7°sin37°4,解析sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB1234,答案A1234,3.函数f(x)＝sinx－cosx(x∈R)的值域是.∴f(x)∈[－2,2].[－2,2]1234,1234,cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ1234,呈重点、现规律1.公式Cα±β与Sα±β的联系、结构特征和符号规律四个公式Cα±β、Sα±β虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相同的，其内在联系为cos(α－β)cos(α＋β)sin(α＋β)sin(α－β)，这样我们只要牢固掌握“中心”公式cos(α－β)的由来及表达方式，也就掌握了其他三个公式.,对于公式Cα－β与Cα＋β，可记为“同名相乘，符号反”.对于公式Sα－β与Sα＋β，可记为“异名相乘，符号同”.2.使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sinβcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sinβcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sinα.,3.运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解.