§3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二),明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺04,1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.明目标、知重点,1.两角和与差的正切公式(1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝.(2)T(α－β)：tan(α－β)＝.填要点·记疑点,2.两角和与差的正切公式的变形(1)T(α＋β)的变形：tanα＋tanβ＝.tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝.tanαtanβ＝.tan(α＋β)(1－tanαtanβ)tan(α＋β),(2)T(α－β)的变形：tanα－tanβ＝.tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝.tanαtanβ＝.tan(α－β)(1＋tanαtanβ)tan(α－β),探要点·究所然情境导学某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山的山顶C处.小山的高BC约为30米，在地平面上有一点A，测得A、C两点间距离约为67米，从点A处观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°.求这座电视发射塔的高度.,解设电视发射塔的高CD＝x，∠CAB＝α，在Rt△ABD中，,如何能由sinα＝求得tan(45°＋α)的值呢？或者说能不能用sinα把tan(45°＋α)表示出来呢？虽然我们已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式，但是使用这些公式显然不能直接解决上述问题.我们有必要得到两角和与差的正切公式.,探究点一　两角和与差的正切公式的推导思考1你能根据同角三角函数基本关系式tanα＝，从两角和与差的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正切值表示tan(α＋β)，tan(α－β)的公式吗？试一试.,当cosαcosβ≠0时，分子分母同除以cosαcosβ，得根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得,思考2在两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？答在公式T(α＋β)，T(α－β)中α，β，α±β都不能等于kπ＋(k∈Z).,思考两角和与差的正切公式变形形式较多，例如：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)，探究点二　两角和与差的正切公式的变形公式这些变形公式在解决某些问题时是十分方便的.请利用两角和与差的正切公式或变形公式完成以下练习.,练习：直接写出下列式子的结果：(2)tan75°＝；1,例1求下列各式的值：,(2)tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°.∴tan15°＋tan30°＝1－tan15°tan30°∴原式＝(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°＝1.反思与感悟公式T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示出第三个.,跟踪训练1求下列各式的值：,,例2若α，β均为钝角，且(1－tanα)(1－tanβ)＝2，求α＋β的值.解∵(1－tanα)(1－tanβ)＝2，∴1－(tanα＋tanβ)＋tanαtanβ＝2，∴tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1，,反思与感悟此类题是给值求角题，解题步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值，②确定所求角的范围.此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解.,,,∴△ABC为等腰钝角三角形.反思与感悟三角形中的问题，A＋B＋C＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角.,跟踪训练3已知A、B、C为锐角三角形ABC的内角.求证：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.证明∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C.∴tanA＋tanB＝－tanC＋tanAtanBtanC.即tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.,当堂测·查疑缺1231.若tan(－α)＝3，则tanα的值为()B4,2.已知A＋B＝45°，则(1＋tanA)(1＋tanB)的值为()A.1B.2C.－2D.不确定B解析(1＋tanA)·(1＋tanB)＝1＋(tanA＋tanB)＋tanAtanB＝1＋tan(A＋B)(1－tanAtanB)＋tanAtanB＝1＋1－tanAtanB＋tanAtanB＝2.1234,1234,1234,1234,呈重点、现规律1.公式T(α±β)的适用范围及结构特征和符号规律(1)由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈Z).(2)公式Tα±β的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和.,(3)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.,2.公式T(α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.,3.公式T(α±β)的变形应用只要见到tanα±tanβ，tanαtanβ时，要有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路.