5.机械能守恒定律 必备知识·自主学习一、动能与势能的相互转化【情境思考】问题1:过山车在高处关闭发动机飞奔而下,过山车受什么力?各做什么功?提示:受重力、阻力、弹力,重力做正功,阻力做负功,弹力不做功。 问题2:过山车的动能和势能怎么变化?提示:动能增大,重力势能减小。问题3:若忽略一切阻力,过山车下滑过程的机械能守恒吗?提示:守恒。 1.重力势能与动能:只有重力做功时,若重力对物体做正功,则物体的重力势能_____,动能_____,_________转化成了_____;若重力做负功,则_____转化为_________。2.弹性势能与动能:只有弹簧弹力做功时,若弹力做正功,则弹性势能_____,物体的动能_____,__________转化为_____。减少增加重力势能动能动能重力势能减少增加弹性势能动能 3.机械能:(1)定义:_________、弹性势能和_____的总称,表达式为E=Ek+Ep。(2)机械能的改变:通过_____或_____做功,机械能可以从一种形式转化为另一种形式。重力势能动能重力弹力 二、机械能守恒定律【情境思考】问题1:运动员抛铅球,忽略空气阻力,铅球在空中运动过程中,机械能守恒吗?提示:守恒。 问题2:求解铅球落地速度的大小用什么规律?提示:机械能守恒定律。 1.推导:质量为m的物体在空中做抛体运动,如图所示。 (1)物体在位置A、B所具有的机械能(取地面为零势能面)。E1=Ep1+Ek1=______________。E2=Ep2+Ek2=______________。(2)物体由A到B的过程中,只有重力做功,根据动能定理:mg(h1-h2)=______________。结论:初机械能等于末机械能Ep1+Ek1=______。Ep2+Ek2 2.内容:在只有_____或_____做功的物体系统内,动能与势能会发生相互转化,但机械能的总量_________。3.表达式:Ep1+Ek1=______,即__=E1。重力弹力保持不变Ep2+Ek2E2 4.机械能守恒的条件:关于机械能守恒的条件,正确的说法有_____。①只受重力②合外力等于零③合外力的功等于零④除重力、弹簧的弹力做功外,其他力没做功⑤除机械能外,没有其他形式的能量参与转化⑥合外力为恒力④⑤ 关键能力·合作学习知识点一　机械能守恒定律的应用条件及判断方法任务1机械能守恒的应用条件(1)从能量特点看,系统内部只发生动能和势能的相互转化,无其他形式能量(如内能)之间转化,系统机械能守恒。 (2)从做功角度来看,只有重力做功或系统弹力做功,系统机械能守恒,具体表现为:做功条件例　证只有重力(或弹簧弹力)做功所有做抛体运动的物体(不计空气阻力),机械能守恒除重力、弹力外还受其他力,但其他力不做功如物体沿光滑的曲面下滑,尽管受到支持力,但支持力不做功 做功条件例　证只有重力和系统内的弹力做功如图,小球在摆动过程中线的拉力不做功,如不计空气阻力,只有重力做功,小球的机械能守恒如图,所有摩擦不计,A自B上自由下滑过程中,只有重力和A、B间弹力做功,A、B组成的系统机械能守恒。但对B来说,A对B的弹力做功,但这个力对B来说是外力,B的机械能不守恒 做功条件例　证只有重力和系统内的弹力做功如图,不计空气阻力,球在运动过程中,只有重力和弹簧与球间的弹力做功,球与弹簧组成的系统机械能守恒。但对球来说,机械能不守恒其他力做功,但做功的代数和为零如图所示,A、B构成的系统,忽略绳的质量与滑轮间的摩擦,在A向下,B向上运动过程中,FA和FB都做功,但WA+WB=0,不存在机械能与其他形式的能的转化,则A、B系统机械能守恒 【问题探究】情境:如图所示,在光滑的水平面上小球B与一小轻弹簧相连,小球A与静止的小球B发生碰撞。 讨论:(1)碰撞过程A球的机械能守恒吗?A、B球与弹簧组成的系统机械能守恒吗?提示:A球的机械能不守恒。A、B球与弹簧组成的系统机械能守恒。(2)A、B碰撞过程,总动能守恒吗?提示:不守恒,有弹性势能参与转化。(3)A、B碰撞过程中,何时总动能最小?提示:弹簧最短,两球共速时,总动能最小,弹性势能最大。 【典例示范】【典例1】关于机械能,下列说法正确的是()A.机械能守恒时,物体一定只受重力和弹力作用B.物体处于平衡状态时,机械能必守恒C.一个系统所受合力为零时,系统机械能守恒D.物体所受的合力不等于零,其机械能也可以守恒 【解析】选D。物体机械能守恒的条件是只有重力或者是弹力做功,物体除了受重力和弹力的作用,还有可能受其他力的作用,但是其他力做功为零,故A错误。物体处于平衡状态时,所受的合力为零,机械能不一定守恒,例如物体匀速上升,动能不变,重力势能增大,故B、C错误;物体所受合力不等于零时,机械能可能守恒,例如自由下落的物体(不计空气阻力),故D正确。 任务2机械能守恒的判断方法1.做功条件分析法:(1)物体只受重力(或系统内的弹力)作用;(2)物体同时受重力和其他力,但其他力不做功;(3)有系统的内力做功,但是内力做功的代数和为零。2.能量转化分析法:若物体只有动能、重力势能及弹性势能间相互转化,或系统内只有物体间的机械能相互转移,则机械能守恒。 3.定义判断法:如物体沿水平方向匀速运动时,动能和势能之和不变则机械能守恒;物体沿竖直方向或沿斜面匀速运动时,动能不变,势能变化,机械能不守恒。 【典例示范】【典例2】下列物体的运动过程,满足机械能守恒的是()A.火箭加速上升B.潜水运动员在水中匀速下落C.物体从空中自由下落(不计空气阻力)D.游客在摩天轮中随摩天轮在竖直面内匀速转动 【解析】选C。火箭加速上升时,动能增大,重力势能增大,故机械能增大,故A错误;潜水运动员在水中匀速下落,动能不变,重力势能减小,故总机械能减小,故B错误;物体从空中自由下落(不计空气阻力)时只有重力做功,机械能守恒,故C正确;游客在摩天轮中随摩天轮在竖直面内匀速转动时,动能不变,重力势能改变,故机械能不守恒,故D错误。 【素养训练】1.如图所示,下列关于机械能是否守恒的判断正确的是() A.甲图中,物体A将弹簧压缩的过程中,A机械能守恒B.乙图中,A置于光滑水平面,物体B沿光滑斜面下滑,物体B机械能守恒C.丙图中,不计任何阻力时A加速下落,B加速上升过程中,A、B机械能守恒D.丁图中,小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时,小球的机械能不守恒【解析】选C。A与弹簧组成的系统机械能守恒,但物体A机械能不守恒,A错误;乙图中物体B除受重力外,还受弹力,弹力对B做负功,机械能不守恒,但从能量特点看A、B组成的系统机械能守恒,B错误;丙图中绳子张力对A做负功,对B做正功,代数和为零,A、B机械能守恒,C正确;丁图中动能不变,势能不变,机械能守恒,D错误。 2.(多选)如图所示,一轻弹簧一端固定于O点,另一端系一重物,将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度释放,让它自由摆下。不计空气阻力,则在重物由A点摆向最低点B的过程中()A.弹簧与重物的总机械能守恒B.弹簧的弹性势能增加C.重物的机械能不变D.重物的机械能增加 【解析】选A、B。由A到B的过程中,只有重力和弹簧弹力做功,系统机械能守恒,即弹簧与重物系统的总机械能守恒,故A正确。在运动的过程中,弹簧的形变量增大,则弹簧的弹性势能增加,故B正确。根据能量守恒定律知,系统机械能不变,弹簧的弹性势能增加,则重物的机械能减小,故C、D错误。故选A、B。 3.关于下列对配图的说法中正确的是()A.图1中“蛟龙号”被吊车吊下水的过程中它的机械能守恒B.图2中火车在匀速转弯时所受合外力为零,动能不变C.图3中握力器在手的压力下弹性势能增加了D.图4中撑杆跳高运动员在上升过程中机械能守恒 【解析】选C。图1中“蛟龙号”被吊车吊下水的过程中,钢绳对它做负功,所以机械能不守恒,故A错误;图2中火车在匀速转弯时做匀速圆周运动,所受的合外力指向圆心且不为零,故B错误;图3中握力器在手的压力下形变增大,所以弹性势能增大,故C正确;图4中撑杆跳高运动员在上升过程中撑杆的弹性势能转化为运动员的机械能,所以运动员的机械能不守恒,故D错误。 4.如图所示,轻质弹簧的一端固定在竖直板P上,另一端与质量为m1的物体A相连,物体A静止于光滑桌面上,A右边连接一细线绕过光滑的定滑轮悬挂一质量为m2的物体B,设定滑轮的质量不计,开始时用手托住B,让细线恰好拉直,然后由静止释放B,直到B获得最大速度,下列有关此过程的分析,其中正确的是()A.B物体的机械能保持不变B.B物体和A物体组成的系统机械能守恒C.B物体和A物体以及弹簧三者组成的系统机械能守恒D.B物体动能的增量等于细线拉力对B做的功 【解析】选C。释放B后,细线的拉力对B做负功,B物体的机械能减少,故A错误。对于A、B和弹簧组成的系统,只有重力和弹簧的弹力做功,A、B和弹簧组成的系统机械能守恒;B物体和A物体组成的系统机械能是减少的,不守恒,故B错误,C正确。根据动能定理得知,B物体动能的增量等于B物体所受拉力和重力的合力做的功,故D错误。故选C。 知识点二　机械能守恒定律的应用任务1机械能守恒定律的应用1.机械能守恒定律的不同表达式:表达式物理意义从不同状态看Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或E初=E末初状态的机械能等于末状态的机械能从转化角度看Ek2-Ek1=Ep1-Ep2或ΔEk=-ΔEp过程中动能的增加量等于势能的减少量从转移角度看EA2-EA1=EB1-EB2或ΔEA=-ΔEB系统只有A、B两物体时,A增加的机械能等于B减少的机械能 2.机械能守恒定律和动能定理的比较:规律内容机械能守恒定律动能定理表达式E1=E2ΔEk=-ΔEpΔEA=-ΔEBW=ΔEk应用范围只有重力或弹力做功时无条件限制物理意义重力或弹力做功的过程是动能与势能转化的过程合外力对物体做的功是动能变化的量度关注角度守恒的条件和始末状态机械能的形式及大小动能的变化及合外力做功情况 【典例示范】【典例1】以相同大小的初速度v0①将物体从同一水平面②分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面(足够长)上滑，如图所示，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力(斜上抛物体在最高点的速度方向水平③)，则()A.h1=h2>h3B.h1=h2<h3C.h1=h3<h2D.h1=h3>h2 【审题关键】序号信息提取①同一物体的初动能相等②同一物体的初势能相等③斜上抛物体在最高点的动能不为零 【解析】选D。竖直上抛物体和沿斜面运动的物体,上升到最高点时,速度均为0,由机械能守恒得mgh=m,h=,斜上抛物体在最高点速度不为零,设为v1,则mgh2=,可知h2<h1=h3,故本题选D。 任务2应用机械能守恒定律解题的基本思路应用机械能守恒定律时,相互作用的物体间的力可以是变力,也可以是恒力,只要符合守恒条件,机械能就守恒,而且机械能守恒定律,只涉及系统的初、末状态的物理量,而不需对中间过程进行计算,使处理问题得到简化,应用的基本思路如下: (1)选取研究对象——物体或系统。(2)根据研究对象所经历的物理过程,进行受力、做功分析,判断机械能是否守恒。(3)恰当地选取零势能面,确定研究对象初、末状态的机械能。(4)根据机械能守恒定律列方程,进行求解。 【典例示范】【典例2】如图所示是由阿特伍德创制的一种实验装置——阿特伍德机。已知物体A、B的质量相等均为M，物体C的质量为M，物体B离地高度为h，轻绳与轻滑轮间的摩擦不计①，轻绳不可伸长且足够长。将B、C由静止释放②，当物体B下落到离地高度为h时，C从B上自由脱落③，脱落后随即将C取走，B继续下落h高度着地，B着地后不反弹，A始终未与滑轮接触，重力加速度为g，求：（1）C刚从B上脱落时B的速度大小。（2）整个过程中A向上运动的最大高度④。 【审题关键】序号信息提取①不计任何摩擦②B、C初速度为0③A、B、C的速度大小相等④A上升的末速度为0 【解析】(1)C脱落前,A、B、C系统机械能守恒,三个物体始终有共同大小的速度,B、C下降,A上升,B、C减少的重力势能等于A增加的重力势能与A、B、C获得的动能之和。对A、B、C系统根据机械能守恒定律,有C刚脱离B时三个物体的速度都为v= (2)C脱离B后,B匀速下降,A匀速上升,B着地后A以速度v=做竖直上抛运动,机械能守恒。B着地时,B下降的高度为h,A上升的高度为h。B着地后对A根据机械能守恒定律有Mgh′=Mv2A继续上升的高度h′=故A上升的最大高度H=h+h′=1.1h答案:(1)(2)1.1h 【素养训练】1.(2020·遂宁高一检测)质量为m的小球,以速度v斜向上抛离高为H的桌面。如图,那么经过A点时所具有的机械能是(以桌面为零势能面)()A.mv2B.mgH+mv2C.mv2-mgHD.mgH 【解析】选A。小球在运动过程中,机械能守恒,所以任何位置的机械能都是相等的,刚抛出时的机械能为E=mv2+Ep=mv2+0=mv2,故A对;B、C、D错。 2.(多选)(2020·宜昌高一检测)如图,滑块a、b的质量均为m,a套在固定竖直杆上,与光滑水平地面相距h,b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接,由静止开始运动。不计摩擦,a、b可视为质点,重力加速度大小为g。则()A.a落地前,轻杆对b一直做正功B.a落地时速度大小为C.a下落过程中,其加速度大小始终不大于gD.a落地前,当a的机械能最小时,b对地面的压力大小为mg 【解析】选B、D。当a到达底端时,b的速度为零,b的速度在整个过程中,先增大后减小,动能先增大后减小,所以轻杆对b先做正功,后做负功,故A错误。a运动到最低点时,b的速度为零,根据系统机械能守恒定律得:magh=解得:va=,故B正确。b的速度在整个过程中,先增大后减小,所以a对b的作用力先是动力后是阻力,所以b对a的作用力就先是阻力后是动力,所以在b减速的过程中,b对a是向下的拉力,此时a的加速度大于重力加速度,故C错误;a、b整体的机械能守恒,当a的机械能最小时,b的速度最大,此时b受到a的推力为零,b只受到重力的作用,所以b对地面的压力大小为mg,故D正确;故选B、D。 3.如图所示是一个横截面为半圆、半径为R的光滑柱面,一根不可伸长的细线两端分别系着物体A、B,且mA=2mB,由图示位置从静止开始释放A物体,当物体B达到圆柱顶点时,求物体A的速度。 【解析】由于柱面是光滑的,故系统的机械能守恒,系统重力势能的减少量等于系统动能的增加量,系统重力势能的减少量为ΔEp=mAg-mBgR系统动能的增加量为ΔEk=(mA+mB)v2ΔEp=ΔEk解得:v=答案: 4.如图所示,一固定的楔形木块,其斜面的倾角为θ=30°,另一边与水平地面垂直,顶端有一个定滑轮,跨过定滑轮的细线两端分别与物块A和B连接,A的质量为4m,B的质量为m。开始时,将B按在地面上不动,然后放开手,让A沿斜面下滑而B上升,所有摩擦均忽略不计。当A沿斜面下滑距离s后,细线突然断了,求物块B上升的最大高度H。(设B不会与定滑轮相碰) 【解析】对系统由机械能守恒定律4mgssinθ-mgs=×5mv2解得v2=细线断后,B做竖直上抛运动,由机械能守恒定律mgH=mgs+mv2解得H=1.2s答案:1.2s 【拓展例题】考查内容:机械能守恒定律的综合应用【典例】滑板运动是一项惊险刺激的运动,深受青少年的喜爱。如图所示是滑板运动的轨道,AB和CD是一段圆弧形轨道,BC是一段长7m的水平轨道。一运动员从AB轨道上的P点以6m/s的速度下滑,经BC轨道后冲上CD轨道,到Q点时速度减为零。已知运动员的质量为50kg,h=1.4m,H=1.8m,不计圆弧轨道上的摩擦。(g取10m/s2)求: (1)运动员第一次经过B点、C点时的速度各是多少?(2)运动员与BC轨道的动摩擦因数。 【解析】以水平轨道为零势能面。(1)从P点到B点,根据机械能守恒定律有,解得vB=8m/s从C点到Q点,根据机械能守恒定律有=mgH解得vC=6m/s。(2)从B到C由动能定理,-μmglBC=解得μ=0.2。答案:(1)8m/s6m/s(2)0.2 【课堂回眸】 课堂检测·素养达标1.下列运动过程中,可视为机械能守恒的是()A.热气球缓缓升空B.树叶从枝头飘落C.掷出的铅球在空中运动D.跳水运动员在水中下沉【解析】选C。热气球缓缓升空,除重力外浮力对它做功,机械能不守恒,故A错误;树叶从枝头飘落,空气阻力对它做功,机械能不守恒,故B错误;掷出的铅球在空中运动,阻力可以忽略,只有重力做功,机械能守恒,故C正确;跳水运动员在水中下沉,除重力外,水的阻力和浮力对他做负功,机械能不守恒,故D错误。 2.如图所示,某人以力F将物体沿斜面向下拉,拉力大小等于摩擦力,则下列说法正确的是()A.物体做匀速运动B.合力对物体做功等于零C.物体的机械能保持不变D.物体机械能减小 【解析】选C。对物体受力分析,受重力、拉力、摩擦力和支持力,拉力和摩擦力平衡,故物体加速下滑,故A错误。合力沿着斜面向下,大小等于重力的分力,合力做正功,故B错误。拉力和摩擦力平衡,做的功之和为零,支持力不做功,故总功等于重力的功,故机械能总量保持不变,故C正确、D错误。 【加固训练】在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出,不计空气阻力,则落在同一水平地面时的速度大小()A.一样大B.水平抛的最大C.斜向上抛的最大D.斜向下抛的最大 【解析】选A。三个小球被抛出后,均仅在重力作用下运动,三球从同一位置落至同一水平地面时,设其下落高度为h,并设小球的质量为m,根据动能定理有:mgh=mv2-,解得小球的末速度大小为:v=,与小球抛出的方向无关,即三球的末速度大小相等,故选项A正确。 3.如图所示,将质量为m的石块从离地面h高处以初速度v0斜向上抛出。以地面为参考平面,不计空气阻力,当石块落地时()A.动能为mghB.动能为C.重力势能为mghD.机械能为+mgh 【解析】选D。不计空气阻力,石块的机械能守恒,根据机械能守恒求出石块落地时的动能大小、机械能大小。重力势能计算式为Ep=mgh,h是相对于参考平面的高度。不计空气阻力,石块的机械能守恒,以地面为参考平面,根据机械能守恒得:石块落地时动能为:mgh+,故A、B错误;以地面为参考平面,石块落地时高度为0,则重力势能为0,故C错误;机械能等于重力势能与动能之和,则得:石块落地时机械能为:mgh+,故D正确。 4.如图所示,在同一竖直平面内,一轻质弹簧一端固定,另一自由端恰好与水平线AB平齐,静止放于倾角为53°的光滑斜面上。一长为L=9cm的轻质细绳一端固定在O点,另一端系一质量为m=1kg的小球,将细绳拉至水平,使小球在位置C由静止释放,小球到达最低点D时,细绳刚好被拉断,之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩,最大压缩量为x=5cm。(g=10m/s2,sin53°=0.8,cos53°=0.6)求: (1)细绳受到的拉力的最大值。(2)D点到水平线AB的高度h。(3)弹簧所获得的最大弹性势能Ep。 【解析】(1)小球由C到D,由机械能守恒定律得:mgL=解得v1=①在D点,由牛顿第二定律得F-mg=m②由①②解得F=30N由牛顿第三定律知细绳所能承受的最大拉力为30N。(2)由D到A,小球做平抛运动=2gh③tan53°=④联立解得h=0.16m (3)小球从C点到将弹簧压缩至最短的过程中,小球与弹簧系统的机械能守恒,即Ep=mg(L+h+xsin53°),代入数据解得:Ep=2.9J。答案:(1)30N(2)0.16m(3)2.9J