2.功　　率 必备知识·自主学习一、功率的含义【情境思考】果农把质量为m的椰子从树上高h处打落在地,重力在椰子下落过程中的功率和落地时的功率,哪一个是平均功率?提示:下落过程中的功率 1.定义:力对物体所做的功W与做功__________的比值,P=。2.单位:在国际单位制中,功率的单位是_____,简称___,用__表示。3.标矢性:功率是_____。4.物理意义:表示物体___________。所用时间t瓦特瓦W标量做功的快慢 5.额定功率与实际功率:(1)定义。①额定功率:各种机器_______________允许的功率。②实际功率:机器_________时的输出功率。(2)关系:实际功率往往__(A.大于B.小于)额定功率,但也可以在很短时间内__(A.大于B.小于)额定功率。长时间正常工作实际工作BA 二、功率、力和速度之间的关系【情境思考】问题1:汽车以恒定功率起动,汽车的加速度如何变化?运动性质是什么?提示:加速度减小的加速运动问题2:用P=Fv研究汽车起动时,F是什么力?提示:牵引力 1.功率与速度的关系式:关于功率和速度的关系式有以下说法,其中正确的有_________。①P=Fv,此时F、v同向②P=Fv,可以求出变力的功率③P=Fv,若v为平均速度,则P为平均功率④P=Fv,若v为瞬时速度,则P为瞬时功率⑤公式P=Fvcosα是错误的⑥公式P=Fvcosα中,α是F与v的夹角①③④⑥ 2.推导:3.应用:由功率速度关系可知,汽车、火车等交通工具和各种起重机械,当发动机的功率P一定时,牵引力F与速度v成_____,要增大牵引力,就要_____速度。反比减小 关键能力·合作学习知识点一　公式P=和P=Fv的分析任务1功率的定义1.功率是标量,只有大小,没有方向,但有正负。功率的正负的意义与功的正负的意义相同。2.公式P=是功率的定义式,适用于任何情况下功率的计算。常用于求某个过程中的平均功率,但如果所取时间t足够小,也可以表示瞬时功率,这与瞬时速度的定义方式是一样的。 3.应用公式P=求功率时,一定要先判断所求的功率是哪个力在哪段时间内的功率,因为不同的力在不同时间内的功率是不同的。4.功和功率的区别:功率表示做功的快慢,不表示做功的多少。一个力做功的多少由功率和时间两个因素决定。功率大的机器,做功不一定多;做功多的机器,功率也不一定大。在分析功和功率的关系时,必须考虑时间因素。 【典例示范】【典例1】关于力对物体做功的功率,下面几种说法中正确的是()A.力对物体做功越多,这个力的功率就越大B.力对物体做功的时间越短,这个力的功率就越大C.力对物体做功少,其功率可能很大;力对物体做功多,其功率也可能较小D.功率是表示做功多少的物理量 【解析】选C。功率P=,表示单位时间内所做的功。当t一定时,W越大,P越大;当W一定时,t越小,P越大。可见P由W、t共同决定,只强调一个因素的说法是错误的,故A、B都错误;如果W较小,但当t更小时,P就可能很大;如果W较大,但当t更大时,P就可能较小,故C正确;由P=知,P是表示做功快慢的物理量,P越大表示单位时间内做功越多,即做功越快,故D错误。 任务2功率的计算1.公式P=和P=Fv的比较:P=P=Fv适用条件(1)功率的定义式,适用于任何情况下功率的计算,一般用来求平均功率(2)当时间t→0时,可由定义式确定瞬时功率(1)功率的计算式,仅适用于F与v同向的情况,一般用来求瞬时功率(2)当v为平均速度时,所求功率为平均功率联系(1)公式P=Fv是P=的推论(2)功率P的大小与W、t无关 2.公式P=Fv中三个量的制约关系:定值各量间的关系应用P一定F与v成反比汽车上坡时,要增大牵引力,应换低速挡减小速度v一定F与P成正比汽车上坡时,要使速度不变,应加大油门,增大输出功率,获得较大牵引力F一定v与P成正比汽车在高速路上,加大油门增大输出功率,可以提高速度 【典例示范】【典例2】(多选)甲、乙两个质量相同的小球,在距地面相同的高处,以不同的初速度水平抛出,v甲∶v乙=2∶1,不计空气阻力,以下说法正确的是()A.从抛出到落地的过程中,重力对甲球做功的平均功率大B.从抛出到落地的过程中,重力对两球做功的平均功率相等C.落地时,重力对甲球做功的瞬时功率大D.落地时,重力对两球做功的瞬时功率相等 【解析】选B、D。质量相等,并且重力做功只与下落的高度有关,故重力做功相同,在竖直方向上做自由落体运动,故下落的时间相同,故重力对两球做功的平均功率相同,A错误,B正确;落地时,在竖直方向做自由落体运动,下落的高度相同,故落地时竖直方向速度相同,根据P=mgvy,可知,落地时重力的瞬时功率相同,C错误,D正确。 【素养训练】1.如图所示,质量为60kg的某运动员在做俯卧撑运动,运动过程中可将她的身体视为一根直棒,已知重心在C点,其垂线与脚、两手连线中点间的距离Oa、Ob分别为0.9m和0.6m,若她在1min内做了30个俯卧撑,每次肩部上升的距离均为0.4m,g取10m/s2,则克服重力做功和相应的功率分别约为()A.430J,7WB.4300J,70WC.720J,12WD.7200J,120W 【解析】选B。设重心上升高度为h,根据几何知识可得解得h=0.24m,故做一次俯卧撑克服重力做功为mgh=144J,所以一分钟克服重力做功为W=30×144J=4320J,功率约为P==72W,故B最接近,B正确。 2.一质量5kg的物体做自由落体运动,在下落过程中的第2s内,重力对该物体做的功为W,在第3s末重力的功率为P,g取10m/s2,下面说法正确的是()A.W=750J,P=1500WB.W=1000J,P=750WC.W=1000J,P=1500WD.W=750J,P=750W 【解析】选A。物体第2s内通过的位移为:x=×10×(22-12)m=15m,所以第2s内重力做功为W=mgx=5×10×15J=750J,第3s末的速度v=gt3=10×3m/s=30m/s,所以第3s末重力的瞬时功率P=mgv=5×10×30W=1500W,故选A。 知识点二　机车起动的两种方式任务1以恒定的功率起动1.由P=Fv可知,当P一定时,F与v成反比。2.机车在水平路面运动时,若以恒定功率起动,先做加速度减小的加速运动,后做匀速直线运动,此时F=f,且速度达到最大vm。 【易错提醒】(1)机车以恒定功率起动时,匀速运动时达到整个过程的最大速度vm。(2)P=Fv中因为P为机车牵引力的功率,所以对应的F是牵引力并非合力,这一点在计算时极易出错。 【典例示范】【典例1】一辆汽车在水平公路上行驶,设汽车在行驶过程中所受阻力不变,汽车的发动机始终以额定功率输出。关于牵引力和汽车速度,下列说法中正确的是()A.汽车加速行驶时,牵引力不变,速度增大B.汽车加速行驶时,牵引力增大,速度增大C.汽车加速行驶时,牵引力减小,速度增大D.当牵引力等于零时,速度达到最大值 【解析】选C。汽车的发动机输出功率恒定,即P一定,则由公式P=Fv可得出v增大,此时F减小,但由于合外力方向与汽车运动方向一致,因此汽车速度仍在增大;当汽车受到的牵引力和阻力相等时,汽车速度达到最大值,而后做匀速直线运动。故C正确,A、B、D错误。 任务2以恒定的加速度起动1.两种起动方式的过程分析: 2.机车起动问题中几个物理量的求法:(1)机车的最大速度vm的求法:机车达到匀速前进时速度最大,此时牵引力F等于阻力Ff,故vm=(2)匀加速起动持续时间的求法:牵引力F=ma+Ff,匀加速的最后速度v′m=时间t=。(3)瞬时加速度的求法:据F=求出牵引力,则加速度a=。 【问题探究】情境:如图所示是一汽车起动时的v-t图像,根据图像讨论分析讨论:(1)v1和vmax的意义分别是什么?提示:v1是匀加速运动结束的速度,vmax是汽车起动完成最终的最大速度。(2)P=Fv中F是哪个力?是合力吗?提示:F是指牵引力,不是合力。 (3)试定性画出该过程中牵引力F随时间的变化图线。提示:如图所示 【典例示范】【典例2】某探究性学习小组对一辆自制遥控车的性能进行研究。他们让这辆小车在水平地面上由静止开始运动①，并将小车运动的全过程记录下来，通过数据处理得到如图所示的v-t图像，已知小车在0～t1时间内做匀加速直线运动，t1～10s时间内小车牵引力的功率保持不变②，7s末达到最大速度③，在10s末停止遥控让小车自由滑行④，小车质量m＝1kg，整个过程中小车受到的阻力f大小不变。求：(1)小车所受阻力f的大小。(2)在t1～10s内小车牵引力的功率P。(3)t1的值及小车在0～t1时间内的位移。 【审题关键】序号信息提取①小车的初速度为0②t1～7s内速度增加,牵引力减小③小车开始做匀速直线运动且F=f④小车只在阻力f作用下做匀减速运动 【解析】(1)在10s末撤去牵引力后,小车只在阻力f作用下做匀减速运动,由图像可得减速时加速度的大小为a=||=2m/s2由牛顿第二定律得f=ma=2N(2)小车做匀速运动阶段即7～10s内,设牵引力为F,则F=f=2N由图像可知vm=6m/s解得P=Fvm=12W (3)设小车在0～t1时间内的位移为x1,加速度大小为a1,t1时刻的速度为v1,则由P=F1v1得F1=4N,由牛顿第二定律得F1-f=ma1得a1=2m/s2,则t1==1.5s,由位移公式得x1==2.25m。答案:(1)2N(2)12W(3)1.5s2.25m 【素养训练】1.如图是汽车在平直路面上起动的v-t图像,其中0～t1时间内图像是直线,t1时刻起汽车的功率保持不变。整个起动过程中汽车受到的阻力大小恒为f,由图像可知()A.0～t1时间内,汽车的牵引力不变,功率随时间均匀增大B.0～t1时间内,汽车的牵引力随时间均匀增大,功率不变C.t1～t2时间内,汽车的牵引力减小,功率为fv1D.t1～t2时间内,汽车的牵引力不变,功率为fv2 【解析】选A。0～t1时间内,汽车的速度是均匀增加的,是匀加速运动,所以汽车的牵引力不变,加速度不变,功率P=Fv随时间均匀增大,故A正确,B错误。t1～t2时间内,汽车的功率已经达到最大值,功率保持不变,根据P=Fv=fv2,可知汽车的牵引力F随速度的增大而减小,故C、D错误。 2.(2020·沈阳高一检测)质量为2000kg的汽车在平直公路上行驶,所能达到的最大速度为20m/s,设汽车所受阻力为车重的0.2倍(即f=0.2G)。如果汽车在运动的初始阶段是以2m/s2的加速度由静止开始匀加速行驶,试求:(1)汽车的额定功率。(2)汽车在匀加速行驶时的牵引力。(3)汽车在3秒内牵引力所做的功。(4)汽车在第3秒末的发动机的瞬时功率。 【解析】(1)当汽车达到最大速度的时候,汽车的牵引力等于阻力,此时车速为最大速度且匀速,所以汽车的额定功率:P额=Fv=fv=0.2×2000×10×20W=80kW(2)汽车在匀加速行驶时,由牛顿第二定律可得:F-f=ma解得汽车在匀加速行驶时的牵引力:F=ma+f=2000×2N+0.2×2000×10N=8000N (3)设汽车匀加速运动的最大速度为v,由P=Fv得:v==10m/s匀加速运动的时间为:t==5s因为3s<5s,所以3s末汽车仍做匀加速直线运动,在3s内汽车的位移是:x==9m在3s内汽车牵引力所做的功为:W=Fx=8000×9J=72000J (4)3s末的瞬时速度为:v3=at3=6m/s所以汽车在第3s末的瞬时功率:P3=Fv3=48kW答案:(1)80kW(2)8000N(3)72000J(4)48kW 【加固训练】一质量为m、发动机额定功率为P的汽车,开上一倾角为α的坡路,设坡路足够长,摩擦阻力是车重的k倍,汽车在上坡过程中的最大速度为()A.B.C.D. 【解析】选C。当牵引力等于阻力时,汽车达到最大速度,汽车匀速运动时,受力平衡,由于汽车是沿倾斜的路面向上行驶的,对汽车受力分析可知,汽车的牵引力F=mgsinα+kmg,由功率P=Fv得:该车行驶的最大速度vm=故本题选C。 【拓展例题】考查内容:日常生活中的功率【典例】如图所示,某同学在跳绳比赛中,1min跳了120次,若每次起跳中有时间腾空,该同学体重50kg,则他在跳绳中克服重力做功的平均功率是多少? 【解析】跳一次时间是人跳离地面做竖直上抛运动,人上抛到最高点的时间此过程中克服重力做功W=mg(gt2)=100J。跳绳时克服重力做功的平均功率答案:200W 【课堂回眸】 课堂检测·素养达标1.(2020·江苏高考)质量为1.5×103kg的汽车在水平路面上匀速行驶，速度为20m/s，受到的阻力大小为1.8×103N。此时，汽车发动机输出的实际功率是（）A.90WB.30kWC.36kWD.300kW 【解析】选C。汽车匀速行驶，则牵引力与阻力平衡F=f=1.8×103N，汽车发动机的功率P=Fv=1.8×103×20W=36kW，故选C。 【加固训练】某校同学在进行校外拓展训练时非常热爱攀岩运动,某同学大约用20s时间登上5m的岩顶(g取10m/s2),则他攀岩时的平均功率约为()A.10WB.100WC.1kWD.10kW【解析】选B。该同学的体重可取50kg,他攀岩时克服重力做功为:W=mgh=50×10×5J=2500J;则他攀岩时的平均功率为P==125W≈100W,故本题选B。 2.一轻绳一端固定在O点,另一端拴一小球,拉起小球使轻绳水平,然后无初速度释放小球。如图所示,小球从开始运动至轻绳到达竖直位置的过程中,小球重力的瞬时功率的变化情况是()A.一直增大B.一直减小C.先增大,后减小D.先减小,后增大 【解析】选C。小球在初位置重力做功的功率为零,在最低点,由于重力的方向与速度方向垂直,则重力做功的功率也为零,因为初末位置都为零,则A到B过程中重力做功的功率先增大后减小。故选C。 【加固训练】若静止在平直铁道上的列车以恒定的功率起动,在起动后的一小段时间内,关于列车的运动,下列说法正确的是()A.做匀速直线运动B.列车的速度和加速度均不断增加C.列车的速度增大,加速度减小D.列车做匀速运动 【解析】选C。P不变,根据P=Fv,v增大,则牵引力减小,根据牛顿第二定律,a=,加速度减小,所以列车做加速度减小的加速运动,当加速度为零时,做匀速直线运动。故C正确,A、B、D错误。 3.(多选)如图所示为一汽车在平直的公路上由静止开始运动的速度图像,汽车所受阻力恒定。图中OA为一段直线,AB为一曲线,BC为一平行于时间轴的直线,则()A.OA段汽车发动机的功率是恒定的B.OA段汽车发动机的牵引力恒定C.AB段汽车发动机的功率可能是恒定的D.BC段汽车发动机的功率是恒定的 【解题指南】解答本题时应注意以下两点:(1)机车的功率为其牵引力的功率。(2)当机车达到最大速率时,牵引力和阻力等大反向。【解析】选B、C、D。OA为一段直线,说明OA段汽车做匀加速直线运动,牵引力不变,根据P=Fv可知,速度增大,牵引力不变,功率增大,故A错误,B正确;AB为一曲线,斜率逐渐减小,则加速度逐渐减小,牵引力减小,根据P=Fv可知,牵引力减小,速度增大,功率可能不变,故C正确;BC为一平行于时间轴的直线,则汽车做匀速直线运动,牵引力等于阻力,不变,速度也不变,根据P=Fv可知,功率不变,故D正确。 4.(多选)如图1所示,物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动。通过力传感器和速度传感器监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律如图2所示。取g=10m/s2。则() A.物体的质量m=1.0kgB.物体与水平面间的动摩擦因数μ=0.20C.第2s内物体克服摩擦力做的功W=2.0JD.前2s内推力F做功的平均功率=1.5W 【解析】选C、D。据题意得,0～1s内物体静止不动,2～3s内物体做匀速直线运动,且f=F3=2N,1～2s内物体做匀加速直线运动,加速度大小a=m/s2=2m/s2,且F2-f=ma,解得:物体的质量m=0.5kg,故A项错误。据f=μmg,解得:物体与水平面间的动摩擦因数μ=0.40,故B项错误。由图2得,第2s内物体的位移x2=t2=×1m=1m,则第2s内物体克服摩擦力做的功W克f=fx2=2×1J=2J,故C项正确。0～1s内物体静止不动,推力不做功;1～2s内推力做的功W=F2x2=3×1J=3J;前2s内推力F做功的平均功率=1.5W,故D项正确。