解三角形的参数范围与最值问题专练一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为　　A.B.C.2D.【答案】A【解析】【分析】本题考查解三角形、正弦定理、基本不等式以及三角形的面积公式，属中档题．由已知式子和正弦定理可得，再由余弦定理可得，由三角形的面积公式可得．由余弦定理可得，，当且仅当时取等号，的面积．故选A．[来源:学§科§网Z§X§X§K]2.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的最大值为　　A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由正弦定理知：，即，故，所以，又，由余弦定理得，，故，故选：D．由正弦定理化简已知等式可求，进而可求B，由余弦定理，基本不等式可求，进而利用三角形面积公式即可得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．[来源:学科网ZXXK][来源:Z#xx#k.Com]1.在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，，且满足若点O是外一点，，，平面四边形OACB面积的最大值是　　A.B.C.3D.[来源:学科网ZXXK]【答案】A【解析】解：中，，，，即，，又，为等边三角形．．，，故当时，取得最大值为1，故的最大值，故选：A．依题意，可求得为等边三角形，利用三角形的面积公式与余弦定理可求得 ，从而可求得平面四边形OACB面积的最大值．题考查三角函数中的恒等变换应用，考查余弦定理的应用，求得是解题的关键，也是难点，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．1.已知的内角A，B，C满足，面积S满足，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是　　A.B.C.D.【答案】A【解析】解：的内角A，B，C满足，，，，，化为，．设外接圆的半径为R，由正弦定理可得：，由，及正弦定理得，即，面积S满足，，即，由可得，显然选项C，D不一定正确，A.，即，正确，B.，即，但，不一定正确，故选：A根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质进行证明即可得到结论．本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．1.锐角中，已知，，则的取值范围是　　A.B.C.D.【答案】D【解答】解：由正弦定理可得，，，，为锐角三角形，，且，，，，，，即，，由余弦定理可得：，可得：，．故选D．1.锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，若，则的取值范围是　　A.B.C.D.[来源:学§科§网Z§X§X§K]【答案】A【解析】解：，由正弦定理可得：，化为．由余弦定理可得：，为锐角，可得，，由正弦定理可得：，可得：，，可得：，，可得：．故选：A．由已知利用正弦定理可得再利用余弦定理可得，进而可求A，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得，利用B的范围，可求的范围，利用正弦函数的图象和性质可求其范围．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．1.在中，，，所对的边分别是a，b，c，，则的取值范围是    A.B.C.D.【答案】A由已知及基本不等式可求，由余弦定理可得，结合范围，可求C的取值范围．本题主要考查了基本不等式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．2.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若为锐角三角形，且满足，则的取值范围是　　A.B.C.D.【答案】D【解析】解：，，即，化为：．，B为锐角，可得：，可得：，，又，最终可得：，．．则．．故选D．，利用正弦定理可得：，又，代入化为：，B为锐角，可得：，可得：，，又，最终可得：，可得代入即可得出．本题考查了正弦定理、三角函数的单调性与求值、锐角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．1.已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，当时，面积的最大值为　　A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由：，利用正弦定理可得：，又，可得：，因为：，所以：．故，当且仅当时取等号，故选：C．由已知利用正弦定理可得：，结合，可得，又由范围，可求A，进而利用三角形面积公式，基本不等式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．2.在锐角中，若，则的范围为  A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由正弦定理得，是锐角三角形，三个内角均为锐角，即有 ，，解得，又余弦函数在此范围内是减函数故．故选：A．由正弦定理得，再根据是锐角三角形，求出B，的取值范围即可．本题考查了二倍角公式、正弦定理的应用、三角函数的性质易错点是B角的范围确定不准确．1.在中，两直角边和斜边分别为a，b，c，若，试确定实数x的取值范围　　A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由得，，由正弦定理得，由此能确定实数x的取值范围本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、三角函数性质的合理运用．【解答】解：由得，，由题意得在中，，则，由正弦定理得：，由得，，所以，即，，故选A．2.已知在中，，，若满足条件的有两个，则边BC的取值范围为　　A.B.C.D.【答案】B【解析】解：在中，，，由正弦定理可得，可得，由题意可得，即为；又满足条件的有两个，可得，即有．故选：B．运用正弦定理可得，由解不等式，结合三角形的边角关系，可得BC的范围．本题考查三角形的正弦定理和三角形的边角关系，考查正弦函数的图象和性质，以及运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）1.在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，则角B的取值范围为______．【答案】利用余弦定理、基本不等式的性质、三角函数的单调性即可得出．本题考查了余弦定理、基本不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.若的面积为，且为钝角，则______；的取值范围是______．【答案】 【解析】解：的面积为，可得：，，可得：，所以，为钝角，，，．．故答案为：；．利用余弦定理，转化求解即可．本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．1.在中，若、、成等比数列，则角B的最大值为______．【答案】【解析】【分析】由、、依次成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出，把得出关系式代入并利用基本不等式求出的范围，利用余弦函数的性质可求B的最大值．此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．【解答】解：在中，、、依次成等比数列，，利用正弦定理化简得：，由余弦定理得：当且仅当时取等号，则B的范围为，即角B的最大值为．故答案为．2.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】利用，代入到余弦定理中求得的值，进而求得B，再利用正弦定理求得a、c，利用两角和差的正弦公式化简的解析式，结合正弦函数的定义域和值域及三角形的性质求得的范围．本题主要考查了余弦定理的应用注意余弦定理的变形式的应用，考查计算能力，属于中档题．【解答】解：中，，，，．，由正弦定理可得，，其中，，，，，的取值范围是：故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）1.在中，．Ⅰ求的大小；Ⅱ求的最大值．【答案】解：Ⅰ在中，．，，；学_科网Ⅱ由得：，，，，故当时，取最大值1，即的最大值为1．【解析】本题考查的知识点是余弦定理，和差角公式，正弦型函数的图象和性质，难度中档．Ⅰ根据已知和余弦定理，可得，进而得到答案；Ⅱ由得：，结合正弦型函数的图象和性质，可得的最大值．1.中，角A，B，C所对边分别是a、b、c，且．求的值；若，求面积的最大值．【答案】解：；，可得，由余弦定理可得，即有，当且仅当，取得等号．则面积为．即有时，的面积取得最大值．【解析】本题考查三角函数的化简和求值，注意运用诱导公式和二倍角公式，考查三角形的余弦定理和面积公式，以及基本不等式的运用，属于中档题．利用诱导公式及二倍角的余弦公式对式子化简，代入即可得到所求值；运用余弦定理和面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值．1.设的内角A、B、C的对边长分别为a、b、设S为的面积，满足Ⅰ求B；Ⅱ若，求的最大值．Ⅱ，，由正弦定理知，，，当且仅当时取最大值，故的最大值为．【解析】本题考查三角形面积公式正弦定理、余弦定理和三角函数的化简，正弦函数的图象和性质，属于中档题．Ⅰ利用三角形的面积公式表示出S，利用余弦定理表示出，代入已知等式求出的值，即可求出B，Ⅱ先求出A的范围，再根据正弦定理表示出a，c，根据两角和差的正弦公式，正弦函数的图象和性质即可求出最大值1.在中，．求角A的大小；若，求的周长l的取值范围．【答案】解：因为，所以，所以，所以．又因为，所以．因为，，，所以，所以．因为，所以．又因为，所以，所以．【解析】本题考查了倍角公式、正弦定理、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由，利用倍角公式可得，化简解出即可得出．利用正弦定理、和差公式、三角函数的单调性即可得出．2.在中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，若．求角A；若，求的取值范围．【答案】解：，由正弦定理可得，，，，，；由题意，，，，由余弦定理当且仅当时取等号，即，．，．【解析】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．利用正弦定理，结合和差的正弦公式，化简可得结论；利用余弦定理结合基本不等式，可求的取值范围．1.中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．Ⅰ求C的大小；学_科网Ⅱ若，求周长的最大值．Ⅱ，，，．设周长为l，则．，，周长的最大值为．【解析】分析：本题考查三角形周长的最大值的求法，考查余弦定理、正弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、方程与函数思想、数形结合思想，是中档题．Ⅰ由正弦定理得到，由此利用余弦定理能求出．Ⅱ由正弦定理求出，由此利用正弦加法定理求出周长，由此能求出周长的最大值．