【步步高】（全国通用）2022版高考数学复习考前三个月第三篇回扣专项练7解析几何理1.平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3，－1)，C(2，－3)两点，D点在直线3x－y＋1＝0上移动，则B点的轨迹方程为(　　)A.3x－y－20＝0B.3x－y－10＝0C.3x－y－9＝0D.3x－y－12＝02.已知实数1，m,4构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为(　　)A.B.C.或D.或3.过坐标原点O作单位圆x2＋y2＝1的两条互相垂直的半径OA，OB，若在该圆上存在一点C，使得＝a＋b(a，b∈R)，则以下说法正确的是(　　)A.点P(a，b)一定在单位圆内B.点P(a，b)一定在单位圆上C.点P(a，b)一定在单位圆外D.当且仅当ab＝0时，点P(a，b)在单位圆上4.椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且||·||的最大值的取值范围是[2c2,3c2]，其中c＝.则椭圆M的离心率e的取值范围是(　　)A.B.C.D.5.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝18\n6.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)A.B.C.D.7.已知a>b>0，设椭圆＋＝1与双曲线－＝1的离心率分别为e1，e2，且双曲线两渐近线的夹角为60°，则e1·e2＝________.8.在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3,0)在圆C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为____________________.9.在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆＋＝1上，点P满足＝(λ－1)(λ∈R)，且·＝72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为________.10.抛物线C的顶点在原点，焦点F与双曲线－＝1的右焦点重合，过点P(2,0)且斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，则弦AB的中点到抛物线准线的距离为________.11.设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率.8\n12.已知椭圆M的左、右焦点分别为F1(－，0)、F2(，0)，且抛物线x2＝4y的焦点为椭圆M的顶点，过点P(0,2)的直线l与椭圆M交于不同的两点A、B.(1)求椭圆M的方程；(2)求△OAB面积的取值范围；(3)若S△OAB＝，是否存在大于1的常数m，使得椭圆M上存在点Q，满足＝m(＋)？若存在，试求出m的值；若不存在，试说明理由.8\n答案精析回扣专项练71.A[设AC的中点为O，则O点坐标为.设B(x，y)关于点O的对称点为(x0，y0)，即D(x0，y0)，则由3x0－y0＋1＝0，得3x－y－20＝0.]2.C[由1，m,4成等比数列，得m2＝4，即m＝±2.当m＝2时，椭圆＋y2＝1的离心率为；当m＝－2时，双曲线y2－＝1的a2＝1，其离心率为e＝＝.]3.B[不妨设A(0,1)，B(－1,0)，∵＝a＋b，∴C(－b，a).∵点C在单位圆上，∴a2＋b2＝1，∴点P(a，b)一定在单位圆上.]4.A[方法一　∵|PF1||PF2|≤2＝2＝a2，∴2c2≤a2≤3c2，∴2≤≤3，∴≤e2≤，解得≤e≤.方法二　∵|PF1||PF2|∈[b2，a2]，则2c2≤a2≤3c2，∴≤e≤.]5.A[如图所示，PF1⊥PF2，故圆的半径为5，|F1F2|＝10，又＝，∴a＝3，b＝4.故选A.]6.D[由已知得焦点坐标为F(，0)，8\n因此直线AB的方程为y＝(x－)，即4x－4y－3＝0.方法一　联立抛物线方程化简得4y2－12y－9＝0，故|yA－yB|＝＝6.因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.方法二　联立方程得x2－x＋＝0，故xA＋xB＝.根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12，同时原点到直线AB的距离为h＝＝，因此S△OAB＝|AB|·h＝.]7.解析　由题意，得＝tan30°＝，∴e1·e2＝·＝＝＝.8.[3＋2，3＋2)∪(3－2，3－2]解析　因为点P(3,0)在圆C：(x－m)2＋(y－2)2＝32内，所以(3－m)2＋(0－2)2<32，解得3－2<m<3＋2.①设圆心C到直线AB的距离为d，则d∈[0，|PC|]，△ABC的面积S＝×|AB|×d＝×2×d＝≤＝16，当且仅当d＝4时取等号，所以4≤|PC|＝，解得m≥3＋2或m≤3－2，与①取交集可得实数m的取值范围是[3＋2，3＋2)∪(3－2，3－2].9.158\n解析　＝－＝(λ－1)，即＝λ，则O，P，A三点共线.又·＝72，∴与同向，∴||||＝72.设OP与x轴的夹角为θ，A点坐标为(x，y)，B为点A在x轴上的投影，则OP在x轴上的投影长度为||·cosθ＝||·＝＝72·＝72·＝72·≤72·＝15，当且仅当|x|＝时，等号成立.故线段OP在x轴上的投影长度的最大值为15.10.11解析　因为双曲线－＝1的右焦点坐标是(3,0)，所以p＝6，即抛物线的标准方程为y2＝12x，设过点P(2,0)且斜率为1的直线l方程为y＝x－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y2＝12x，消去y可得x2－16x＋4＝0，x1＋x2＝16，又因为线段AB的中点到抛物线的准线的距离为＝＝11.11.解　(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|·cos∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0.而a＋k>0，故a＝3k.于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.因此|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，8\n故△AF1F2为等腰直角三角形.从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.12.解　(1)由题意得抛物线x2＝4y的焦点坐标为(0,1).所以椭圆M的一个顶点为(0,1)，又其焦点为F1(－，0)，F2(，0).故c＝，b＝1，a＝2.所以椭圆M的方程为＋y2＝1.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l即为y轴，此时A、B为椭圆M短轴的两个端点，A、B、O三点共线，显然不符合题意.当直线l的斜率存在时，设为k，则直线l的方程为y＝kx＋2.联立方程代入消去y整理得(4k2＋1)x2＋16kx＋12＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由一元二次方程根与系数的关系可得，x1＋x2＝，x1x2＝，(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝2－4×＝[(－16k)2－48(4k2＋1)]＝，故|x1－x2|＝，|AB|＝·|x1－x2|＝.而点O到直线l的距离d＝，所以△OAB的面积S＝·|AB|·d＝··＝.8\n设t＝>0，故k2＝，所以S＝＝＝，因为t>0，所以t＋≥2＝4，当且仅当t＝，即t＝2时取得等号，此时k2＝，解得k＝±，S取得最大值1.故△OAB面积的取值范围为(0,1].(3)由(2)可知，△OAB的面积S＝＝，即5＝4k2＋1，两边平方整理得4k4－23k2＋19＝0，解得k2＝1或k2＝.设Q(x0，y0)，由＝m(＋)，解得x0＝m(x1＋x2)＝，y0＝m(y1＋y2)＝m(kx1＋2＋kx2＋2)＝m[k(x1＋x2)＋4]＝m＝.故Q，由点Q在椭圆M上可得＋2＝1，整理得64k2m2＋16m2＝(4k2＋1)2，解得m2＝，故m2＝或m2＝.因为m>1，故m＝.所以存在实数m＝，使得椭圆M上存在点Q，满足＝m(＋).8