【步步高】（全国通用）2022版高考数学复习考前三个月第三篇回扣专项练10复数、算法、推理与证明理1.等于(　　)A.－1－iB.－1＋iC.1＋iD.1－i2.复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为(　　)A.2＋iB.2－iC.5＋iD.5－i3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为(　　)A.7B.6C.5D.44.(2022·长沙模拟)设△ABC的三边长分别a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝.类比这个结论可知：四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为r，四面体ABCD的体积为V，则r等于(　　)A.B.C.D.5.正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(　　)A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确6.(2022·石家庄模拟)已知数列{an}：，，，，，，，，，7\n，…，依它的前10项的规律，则a99＋a100的值为(　　)A.B.C.D.7.设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}，令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x<y<z，y<z<x，z<x<y恰有一个成立}.若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是(　　)A.(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉SB.(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈SC.(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈SD.(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S8.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于________.9.在平面上，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是______________.10.定义“正对数”：ln＋x＝现有四个命题：①若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝bln＋a；②若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b；③若a>0，b>0，则ln＋≥ln＋a－ln＋b；7\n④若a>0，b>0，则ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln2.其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号)11.(2022·苏州质检)设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.12.阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，①sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，②由①＋②得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ，③令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝，β＝，代入③得sinA＋sinB＝2sincos.(1)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA－cosB＝－2sinsin；7\n(2)若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A－cos2B＝2sin2C，试判断△ABC的形状.7\n答案精析回扣专项练101.B[＝＝＝＝－1＋i.]2.D[因为(z－3)(2－i)＝5，所以z＝＋3＝2＋i＋3＝5＋i，所以＝5－i.]3.D[第一次运算，n＝1，S＝－1；第二次运算，n＝2，S＝1；第三次运算，n＝3，S＝－2；第四次运算，n＝4，S＝2，此时符合输出条件，故输出的n值为4.]4.C[设四面体ABCD的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，所以四面体ABCD的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的四个三棱锥的体积的和，则四面体ABCD的体积为V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r，所以r＝，故选C.]5.C[f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数而是复合函数，所以小前提不正确.]6.A[通过将数列的前10项分组得到第一组有一个数：，分子、分母之和为2；第二组有两个数：，，分子、分母之和为3；第三组有三个数：，，，分子、分母之和为4；第四组有四个数，依次类推，a99，a100分别是第十四组的第8个数和第9个数，分子、分母之和为15，所以a99＝，a100＝.故a99＋a100＝.故选A.]7.B[因为(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w＝1，则(y，z，w)＝(3,4,1)∈S，(x，y，w)＝(2,3,1)∈S，故(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S的说法均错误，可以排除选项A、C、D，故选B.]8.解析　当k＝5时，输出S.此时，S＝1＋＋＋＋＝1＋1－＋－＋－＋－＝2－＝.9.S＋S22＋S＝S解析　将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S＋7\nS22＋S＝S.10.①③④解析　①当0<ab<1时(0<a<1)，ln＋(ab)＝0＝bln＋a；当ab>1时(a>1)，ln＋(ab)＝lnab＝blna＝bln＋a，正确.②设a＝，b＝3，则0＝0＋ln3不成立，不正确；③(a>b)ln＋＝ln(a<b)ln＋＝0综上可知③正确.④a.a＋b>1，a，b>1：ln(a＋b)≤lna＋lnb＋ln2＝ln2ab成立；b.a＋b>1，a>1,0<b<1：ln(a＋b)≤lna＋ln2＝ln2a成立；c.a＋b>1,0<a，b<1：ln(a＋b)≤ln2成立；d.0<a＋b<1,0<a，b<1：0≤ln2成立.综上可知④成立.11.解　f(0)＋f(1)＝＋＝＋＝＋＝，同理可得：f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均为f(x1)＋f(x2)＝.证明：设x1＋x2＝1，∵f(x1)＋f(x2)＝＋＝＝＝＝＝.12.(1)证明　cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，①7\ncos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，②①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ.③令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝，β＝，代入③得cosA－cosB＝－2sinsin.(2)解　方法一　cos2A－cos2B＝2sin2C可化为1－2sin2A－1＋2sin2B＝2sin2C，即sin2A＋sin2C＝sin2B.即△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理可得a2＋c2＝b2.根据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形.方法二　利用(1)中的结论，cos2A－cos2B＝2sin2C可化为－2sin(A＋B)sin(A－B)＝2sin2C，因为A，B，C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π，所以－sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2(A＋B).又因为0<A＋B<π，所以sin(A＋B)≠0，所以sin(A＋B)＋sin(A－B)＝0，从而2sinAcosB＝0，又因为sinA≠0，所以cosB＝0，即B＝.所以△ABC为直角三角形.7