立体几何 <br />本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．‎ <br />第Ⅰ卷 <br />一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ <br />‎1．(2013&middot;肇庆模拟)在△ABC中，已知||＝||＝||＝2，则向量&middot;＝(　　)‎ <br />A．2　　 B．－‎2　‎　　‎ <br />C．2　　 D．－2 <br />‎【解析】　向量与的夹角为，则&middot;＝2×2×cosπ＝－2.‎ <br />‎【答案】　B <br />‎2．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的(　　)‎ <br />A．BC∥平面PDF <br />B．DF⊥平面PAE <br />C．平面PDE⊥平面ABC <br />D．平面PAE⊥平面ABC <br />‎【解析】　若平面PDF⊥平面ABC，则顶点P在底面的射影在DF上，又因为正四面体的顶点在底面的射影是底面的中心，因此结论不成立，故选C.‎ <br />‎【答案】　C <br />‎3．(2013&middot;济宁模拟)点M、N分别是正方体ABCD&mdash;A1B‎1C1D1的棱A1B1、A1D1的中点，用过A、M、N和D、N、C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如下图1，则该几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图依次为(　　)‎ <br /> <br />图1‎ <br /> <br /> <br />A．①②③ B．②③④‎ <br />C．①③④ D．②④③‎ <br />‎【解析】　根据三视图的定义可知选B.‎ <br />‎【答案】　B <br />‎4．(2013&middot;枣庄模拟)设z＝x＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为6，则z的最小值为(　　)‎ <br />A．－3 B．－2 ‎ <br />C．－1 D．0‎ <br />‎【解析】　由z＝x＋y得y＝－x＋z，作出的区域BCO，平移直线y＝－x＋z，由图象可知当直线经过C时，直线的截距最大，此时z＝6，由解得所以k＝3，解得B(－6,3)，代入z＝x＋y得最小值为z＝－6＋3＝－3，选A.‎ <br /> <br />‎【答案】　A <br />‎5．(2013&middot;课标全国卷Ⅰ)如图2，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高‎8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为‎6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为(　　)‎ <br /> <br />图2‎ <br />A. cm3 B. cm3‎ <br />C. cm3 D. cm3‎ <br /> <br /> <br />‎【解析】　如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)．设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，‎ <br />‎∴R＝5，‎ <br />‎∴V球＝π×53＝π(cm3)．‎ <br />‎【答案】　A <br />‎6．(2013&middot;临汾模拟)已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是(　　)‎ <br />A．AB∥m B．AC⊥m <br />C．AB∥β D．AC⊥β <br />‎【解析】　因为m∥α，m∥β，α∩β＝l，所以m∥l.‎ <br />因为AB∥l，所以AB∥m，故A一定正确．‎ <br />因为AC⊥l，m∥l，所以AC⊥m，从而B一定正确．‎ <br />因为AB∥l，l⊂β，AB⊄β.‎ <br />所以AB∥β.故C也正确．‎ <br />因为AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立，故D不一定成立．‎ <br />‎【答案】　D <br />‎7．在正三棱柱ABC&mdash;A1B‎1C1中，D是AC的中点，AB1⊥BC1，则平面DBC1与平面CBC1所成的角为(　　)‎ <br />A．30° B．45° C．60° D．90°‎ <br />‎【解析】　以A为坐标原点，，的方向分别为y轴和z轴的正方向建立空间直角坐标系．‎ <br />设底面边长为‎2a，侧棱长为2b，‎ <br />则A(0,0,0)，C(0,‎2a,0)，D(0，a,0)，B(a，a,0)，C1(0,‎2a,2b)，B1(a，a,2b)．‎ <br />由⊥，得&middot;＝0，即2b2＝a2.‎ <br />设n1＝(x，y，z)为平面DBC1的一个法向量，‎ <br />则n1&middot;＝0，n1&middot;＝0.‎ <br /> <br />即又2b2＝a2，令z＝1，‎ <br />解得n1＝(0，－，1)．‎ <br />同理可求得平面CBC1的一个法向量为n2＝(1，，0)．‎ <br />利用公式cos θ＝＝，得θ＝45°.‎ <br />‎【答案】　B <br />‎8．(2013&middot;成都模拟)已知正四棱锥S&mdash;ABCD中，SA＝2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为(　　)‎ <br />A．1　　　B.　　　C．2　　 D．3‎ <br /> <br /> <br />‎【解析】　如图所示，设正四棱锥高为h，底面边长为a，则a＝，即a2＝2(12－h2)，‎ <br />所以V＝×a2×h＝h(12－h2)＝－(h3－12h)，‎ <br />令f(h)＝h3－12h，则f′(h)＝3h2－12(h＞0)，‎ <br />令f′(h)＝0，则h＝2，此时f(h)有最小值，V有最大值．‎ <br />‎【答案】　C <br />第Ⅱ卷 <br />二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上)‎ <br />‎9．(2013&middot;东营模拟)已知等比数列{an}，若存在两项am，an使得am&middot;an＝a，...