高考数学三轮复习必做的数列综合题

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‎2011高考数学三轮复习必做的数列综合题 ‎1.数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)设数列的前项和为，且，求证:对任意实数（是常数，＝2.71828）和任意正整数，总有 2；‎ ‎(Ⅲ) 正数数列中，.求数列中的最大项. ‎ ‎（Ⅰ）解：由已知：对于，总有 ①成立 ‎∴ （n ≥ 2）② ‎ ‎①--②得 ‎∴‎ ‎ 均为正数，∴ （n ≥ 2） ‎ ‎∴数列是公差为1的等差数列 ‎ 又n=1时，，解得=1‎ ‎∴.() ‎ ‎（Ⅱ）证明：对任意实数和任意正整数n，总有≤. ‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎(Ⅲ)解：由已知， ‎ ‎ ‎ ‎ 易得　‎ ‎ 猜想 n≥2 时，是递减数列. ‎ 令 ‎ 当 ‎∴在内为单调递减函数.‎ 由.‎ ‎∴n≥2 时, 是递减数列.即是递减数列.‎ 又 , ∴数列中的最大项为. ‎ ‎2．设f1(x)=，定义fn+1 (x)= f1［fn(x)］，an =（n∈N*）.‎ ‎(1) 求数列｛an｝的通项公式；‎ ‎(2) 若，Qn=（n∈N*），试比较9T2n与 Qn的大小，并说明理由.‎ 解：（1） f1(0)=2，a1==，fn+1(0)= f1［fn(0)］=, ‎ ‎∴an+1==== -= -an. ‎ ‎∴数列｛an｝是首项为,公比为-的等比数列，∴an=()n-1. ‎ ‎（2） T2 n = a1+2a 2+3a 3+…+(2n-1)a 2 n-1+2na 2 n，‎ ‎∴T2 n= (-a1)+(-)2a 2+(-)3a 3+…+(-)(2n-1)a2 n－1+2na2 n ‎= a 2+2a 3+…+(2n－1)a2 n－na2 n.‎ 两式相减，得T2 n= a1+a2+a 3+…+a2 n+na2 n. ‎ ‎∴T2n =+n×(-)2n-1=-(-)2n+(-)2n-1.‎ T2n =-(-)2n+(-)2n-1=(1-). ‎ ‎∴9T2n=1-.‎ 又Qn=1-， ‎ 当n=1时，22 n= 4,(2n+1)2=9,∴9T2 n＜Q n； ‎ 当n=2时，22 n=16,(2n+1)2=25,∴9T2 n＜Qn； ‎ 当n≥3时，，‎ ‎∴9T2 n＞Q n. ‎ ‎3．设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为f(n)(n∈N*).‎ ‎ （1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式；‎ ‎ （2）设bn=2nf(n)，Sn为{bn}的前n项和，求Sn；‎ ‎ （3）记，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值 范围.‎ ‎（1）f(1)=3‎ ‎ f(2)=6‎ ‎ 当x=1时，y=2n，可取格点2n个；当x=2时,y=n，可取格点n个 ‎ ∴f(n)=3n ‎ （2）由题意知:bn=3n·2n ‎ Sn=3·21+6·22+9·23+…+3(n－1)·2n－1+3n·2n ‎ ∴2Sn=3·22+6·23+…+3(n－1)·2n+3n·2n+1‎ ‎∴－Sn=3·21+3·22+3·23+…3·2n－3n·2n+1‎ ‎ =3（2+22+…+2n）－3n·2n+1‎ ‎ =3·‎ ‎ =3(2n+1－2)－3nn+1‎ ‎∴－Sn=(3－3n)2n+1－6‎ Sn=6+(3n－3)2n+1‎ ‎ （3）‎ ‎ ‎ ‎ ∴T1<T2=T3>T4>…>Tn ‎ 故Tn的最大值是T2=T3=‎ ‎ ∴m≥。‎ ‎4．已知，且，数列的前项和为，它满足条件.数列中，·.‎ ‎（1）求数列的前项和；‎ ‎（2）若对一切都有，求的取值范围.‎ 解：（1），∴‎ 当时，.‎ 当≥2时，=，∴ ‎ 此时··=·，‎ ‎∴……=……+‎ 设……+，‎ ‎∴……，‎ ‎∴‎ ‎∴·　　……6分 ‎（2）由可得 ‎①当时，由，可得 ‎ ∴对一切都成立，‎ ‎∴此时的解为.　‎ ‎②当时，由可得 ‎≥∴对一切都成立，‎ ‎∴此时的解为.‎ 由①，②可知 对一切，都有的的取值范围是或.　……14分 ‎5、已知函数（）。‎ ‎（Ⅰ）若且，则称为的实不动点，求的实不动点；‎ ‎（II）在数列中，，（），求数列的通项公式。‎ 解：（Ⅰ）由及得 或（舍去），‎ 所以或，即的实不动点为或；‎ ‎（II）由条件得，从而有 ‎，‎ 由此及知：数列是首项为，公比为的等比数列，故有 ‎（）。‎ ‎6、已知函数，点，是函数图像上的两个点，且线段的中点的横坐标为．‎ ‎⑴求证：点的...