学案21　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 <br />导学目标： 1.会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、变形应用．‎ <br /> <br />自主梳理 <br />‎1．(1)两角和与差的余弦 <br />cos(α＋β)＝_____________________________________________，‎ <br />cos(α－β)＝_____________________________________________.‎ <br />‎(2)两角和与差的正弦 <br />sin(α＋β)＝_____________________________________________，‎ <br />sin(α－β)＝_____________________________________________.‎ <br />‎(3)两角和与差的正切 <br />tan(α＋β)＝_____________________________________________，‎ <br />tan(α－β)＝_____________________________________________.‎ <br />‎(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋，k∈Z)‎ <br />其变形为：‎ <br />tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，‎ <br />tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．‎ <br />‎2．辅助角公式 <br />asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，‎ <br />其中角φ称为辅助角．‎ <br />自我检测 <br />‎1．(2010&middot;福建)计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于 (　　)‎ <br />A. B. C. D. <br />‎2．已知cos＋sin α＝，则sin的值是 (　　)‎ <br />A．－ B. C．－ D. <br />‎3．函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的最小正周期是 (　　)‎ <br />A. B．π C．2π D．4π <br />‎4．(2011&middot;台州月考)设0≤α&lt;2π，若sin α&gt;cos α，则α的取值范围是 (　　)‎ <br />A. B. <br />C. D. <br />‎5．(2011&middot;广州模拟)已知向量a＝(sin x，cos x)，向量b＝(1，)，则|a＋b|的最大值为(　　)‎ <br />A．1 B. C．3 D．9‎ <br /> <br />探究点一　给角求值问题(三角函数式的化简、求值)‎ <br />例1　求值：‎ <br />‎(1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]；‎ <br />‎(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－&middot;cos(θ＋15°)．‎ <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />变式迁移1　求值：(1)；‎ <br />‎(2)tan(－θ)＋tan(＋θ)＋tan(－θ)tan(＋θ)．‎ <br /> <br /> <br /> <br /> <br />探究点二　给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)‎ <br />例2　已知0&lt;β&lt;&lt;α&lt;，cos＝，‎ <br />sin＝，求sin(α＋β)的值．‎ <br /> <br /> <br /> <br /> <br />变式迁移2　(2011&middot;广州模拟)已知tan＝2，tan β＝.‎ <br />‎(1)求tan α的值；‎ <br />‎(2)求的值．‎ <br /> <br /> <br /> <br /> <br />探究点三　给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值)‎ <br />例3　已知0&lt;α&lt;&lt;β&lt;π，tan ＝，cos(β－α)＝.‎ <br />‎(1)求sin α的值；　(2)求β的值．‎ <br /> <br /> <br /> <br /> <br />变式迁移3　(2011&middot;岳阳模拟)若sin A＝，sin B＝，且A、B均为钝角，求A＋B的值．‎ <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />转化与化归思想的应用 <br />例　(12分)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝.‎ <br />‎(1)求cos(α－β)的值；‎ <br />‎(2)若－&lt;β&lt;0&lt;α&lt;，且sin β＝－，求sin α的值．‎ <br />‎【答题模板】‎ <br /> <br />解　(1) |a－b|＝，∴a2－‎2a&middot;b＋b2＝.[2分]‎ <br />又 a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，∴a2＝b2＝1，‎ <br />a&middot;b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，[4分]‎ <br />故cos(α－β)＝＝＝.[6分]‎ <br />‎(2) －&lt;β&lt;0&lt;α&lt;，∴0&lt;α－β&lt;π. cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.[8分]‎ <br />又 sin β＝－，－&lt;β&lt;0，∴cos β＝.[9分]‎ <br />故sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β <br />‎＝×＋×＝.[12分]‎ <br />‎【突破思维障碍】‎ <br />本题是三角函数问题与向量的综合题，唯一一个等式条件|a－b|＝，必须从这个等式出发，利用向量知识化简再结合两角差的余弦公式可求第(1)问，在第(2)问中需要把未知角向已知角转化再利用角的范围来求，即将α变为(α－β)＋β.‎ <br />‎【易错点剖析】‎ <br />‎|a－b|平方逆用及两角差的余弦公式是易错点，把未知角转化成已知角并利用角的范围确定三角函数符号也是易错点．‎ <br /> <br />‎1．转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括：函数名...