3.6对数与对数函数——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）解析版
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2023-10-02 11:48:01
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3.6对数与对数函数——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）【分析】分离常数后，用基本不等式可解.一、单选题 1．设 ， ，则“lg lg 䁎”是“ m”的（）.4．设 䁫 ， 䁫 ， ，则 ， ， 的大小关系为（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件A． t t B． t t C． t t D． t t C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【答案】A【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数的运算性质【解析】【解答】因为 t ，所以 t ，即 䁫 t ；【解析】【解答】由lg lg 䁎 lg 䁎 m且 t䁎且 t䁎， 因为 ൏ ，所以 ，即 䁫 ൏ ，综上， t t ． ൏ 故答案为：A．故答案为：D．【分析】利用对数的运算性质结合充分条件、必要条件的定义可得答案。【分析】由指数函数与对数函数的单调性，即可比较出结果从而得出答案。2．已知 䁫 ， 䁫 䁫 ， 䁫 ，则（）5．已知 ，则下列不等关系正确的有（）A． ൏ ൏ B． ൏ ൏ C． ൏ ൏ D． ൏ ൏ mmmA．t B． ൏〸C． ൏〸D． t【答案】A 【知识点】对数函数的单调区间【答案】D【解析】【解答】解：䁎 log m൏log ൏log m， 䁎，m 【知识点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质䁫 䁎【解析】【解答】解：由 ，可得 log ， log ， 䁫 䁫 ൏䁫 m 䁎， t tm，则可得： ൏ ൏ ． 故答案为：A.A：所以 log log log ൏ ，所以A不符合题意． log log m〸B： log log logt 〸，所以B不符合题意．【分析】根据对数函数单调性，即可求解. log log log mmlog log m〸3．函数 ln 的图像与函数 ㌳ ㌳的图像的交点个数为（）C： log log log log log logt log 〸，所以C不符合题 log log log A．2B．3C．4D．0意．【答案】Cmm log log mD：因为 log log log log log log tm ，D符合题 【知识点】对数函数的图象与性质意.【解析】【解答】 在 ， 上是增函数， 在 ， 和 䁎， 上是减函数，在 ，䁎 故答案为：D．和 ， 上是增函数， 䁎， 䁎， 䁎 t 䁎 ln ，【分析】根据题意由指对互化公式整理，结合对数的运算性质由此对选项逐一判断即可得出答案。作出函数 的图像，如图，由图像可知它们有4个交点． 故答案为：C．6．当强度为 的声音对应的等级为 分贝时，有 m䁎䁫 䁎(其中 䁎为常数)．装修电钻的声音约为100分贝，普通室内谈话的声音约为60分贝，则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（）nA． B． C．m䁎 〸D．m䁎〸【知识点】指数式与对数式的互化 【解析】【解答】解：因为 ， ， ， ， logm logm ，【答案】D 【知识点】指数式与对数式的互化所以 m， log ൏m，故 t ，【解析】【解答】设装修电钻的声音强度为 m，普通室内谈话的声音强度为 .m mm m，所以 t . ， m m䁎䁎 m䁎䁫 m 〸 䁎由题意得： ，解得故答案为：D. 䁎 m䁎䁫 䁎 m䁎∴装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为：m 䁎 m䁎 m䁎〸. 䁎 m䁎【分析】根据题意，将指数、对数式变形可得a、b、c、d的值，即可得答案.故答案为：D.9．若函数 log m的零点为 ，则 䁎 m （）． 䁎䁎 m A．B．1C． D．2【分析】设装修电钻的声音强度为 m，普通室内谈话的声音强度为 ，由 m䁎䁫 列出方程即可求得 䁎 m 䁎 m䁎m䁎【答案】B，进而可求解。 䁎 m䁎 【知识点】指数式与对数式的互化7．已知实数 ， m， ，且log log log log 〸，则（）【解析】【解答】由题设 tm，由 䁎得： log 䁎 m䁎 䁎 䁎 m ，A． ൏ ൏ B． ൏ ൏ C． ൏ ൏ D． ൏ ൏ 䁎 【答案】A若 䁎 䁎 m ，可得 䁎 m t䁎， 䁎【知识点】对数的运算性质；换底公式的应用若log 䁎 m，可得 mt䁎，m log m൏log m 䁎 m 䁎【解析】【解答】由log log 〸 log log 可得log log log log， 䁎 〸 m m因为 在 ，䁎 ， 䁎， 上单调递增，且log ，log 䁎， ，所以log ൏log ，即 ൏ ，综上， ，故 m. 䁎 䁎其次，logmtlog m故答案为：B log〸log，所以log tlog〸 ， 〸 又因为log〸 log tlog 且 log 单调递增，所以由log tlog 可知 t ，综上， ൏ ൏ ．故答案为：A【分析】由已知有 tm，由 䁎得： log 䁎 m m䁎 䁎 䁎 m ，利用指对数的关系及运算性质得到 䁎 䁎关于t的表达式，进而由指数函数的单调性确定t值即可.mm【分析】对log log log log 〸，利用换底公式等价变形，得到log log൏log log，结〸 10．2022年4月16日，神舟十二号3名航天员告别了工作生活183天的中国空间站，安全返回地球中国征服mmm合 的单调性判断 ൏ ，同理利用换底公式得log logtlog〸 log即log tlog〸 ，再根据 䁎 〸 太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式 ln，其中△v m对数运算性质得log〸 log 结合 log 单调性， t ，进而得答案.为火箭的速度增量， 为喷流相对于火箭的速度， 䁎和 m分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量，在未来，8．已知 ， ， ， ， logm logm ，则（） 䁎 假设人类设计的某火箭 达到5公里/秒 ，从100提高到600，则速度增量 增加的百分比约为（）（参mA． ൏ ， ൏ B． ൏ ， t C． t ， ൏ D． t ， t 考数据：ln 䁎. ，ln m.m，ln m. 【答案】DA．15%B．30%C．35%D．39%n【答案】D【知识点】对数的运算性质【分析】 ， ， 分别和特殊值0，1比较大小，即可判断. 䁎【解析】【解答】由题意，当 m䁎䁎时，速度的增量为 m lnm䁎䁎；13．已知 ， ln ， 䁎. ，则 ， ， 的大小关系为()m当 䁎 䁎䁎时，速度的增量为 ln 䁎䁎 lnm䁎䁎 ln ，A． t t B． t t C． t t D． t t m lnm䁎䁎 ln lnm䁎䁎ln ln ln 【答案】B所以 m %. m lnm䁎䁎lnm䁎䁎 ln ln 【知识点】指数式与对数式的互化；换底公式的应用故答案为：D. ln 【解析】【解答】由 可得， log ，ln 因为ln tmtln t䁎，【分析】由题意分别可求 lnm䁎䁎， lnm䁎䁎 ln ，再计算 m即可求解。m mln 所以൏ln ൏m，ln 11．若 t䁎且 m，log ，log ， ，则 （）又因为 䁎. t 䁎 m，mmA．3B． C． D．log 所以 t t .【答案】B故答案为：B.【知识点】指数式与对数式的互化；换底公式的应用【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，【分析】首先根据指数对数互化公式以及换底公式求出a，然后再利用中介值“1”即可比较 ， ， 的大小. 14．设 log ， log〸 ， 䁎.m，则a，b，c的大小关系为（）又log ，log ，A． t t B． t t C． t t D． t t lg log lg m所以 log lg log log ，【答案】A lg 【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数值大小的比较 m所以 . ln log ln ln ln ln ln tm， t ，故答案为：B.【解析】【解答】依题意， logln ln ln ln ln 〸 ln〸 log tlog〸 m， 䁎.m൏ 䁎 m，〸〸 【分析】由 ，得 ，再根据换底公式化简结合对数式与指数式的互化即可得出答案. 所以 t tmt 12．已知 m䁎. ， log〸䁎. ， log ，则（）故答案为：AA． t t B． t t C． t t D． t t 【答案】A【分析】根据对数函数、指数函数的单调性以及作商法比较大小，即可求解.【知识点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；对数值大小的比较15．已知函数 〸 ൏䁎 ，则关于 的不等式 tlog 的解集是（）【解析】【解答】 m䁎. 䁎. ൏䁎， log tlog m，A． ，〸 B． 䁎，m C． 䁎，〸 D． 〸， 䁎，m ， log〸 所以 t t .【答案】C故答案为：A【知识点】二次函数的性质；对数函数的单调性与特殊点n【解析】【解答】由题设， 对称轴为 且图象开口向下，则 在 䁎， 上递增， ， 上递减，【分析】根据绝对值的定义和对数函数的单调性即可求解．18．“ t t䁎”是“ log log t䁎”的（）由 〸 〸 ，即 恒过 〸， 且 䁎 ，A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件所以 䁎，〸 上 t ， 〸， 上 ൏ ，C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件而 log 在 䁎， 上递增，且 䁎，〸 上 ൏ ， 〸， 上 t ，【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的单调性与特殊点所以 tlog 的解集为 䁎，〸 .【解析】【解答】对于 log log t䁎等价为：故答案为：C t䁎 ൏䁎或log log t䁎log log ൏䁎 t ൏ 即：或【分析】由题设， 对称轴为 且图象开口向下，则 在 䁎， 上递增， ， 上递减，再根据对log tlog log ൏log 解得： t t䁎或䁎൏ ൏ ，数函数的单调性求解可得答案。 “ t t䁎”是“ log log t䁎”的充分不必要条件.16．设 log ， m， log〸，则 ， ， 的大小关系是（） 故答案为：A.A． ൏ ൏ B． ൏ ൏ C． ൏ ൏ D． ൏ ൏ 【答案】C【分析】利用对数的运算法则，再结合充分条件、必要条件的定义判断即可得答案.【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点19．区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码 【解析】【解答】因为 ൏ ，故 ൏ 即 ൏ ，故log ൏log ，故 ൏ 一共有 m 种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行 m 次运算.现在有一台计算机，每秒能 而 进行 . m䁎m〸次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为（参考数据 log ，且䁎൏log ൏log m，故 log ൏log ， 䁫 䁎. ，m䁎 m. ）（）故 ൏ ൏ ，A． .m m䁎m B．m. m䁎m 故答案为：CC．m. m䁎m〸䁎 D． .m m䁎m〸䁎 【答案】B【分析】利用对数函数和指数函数的单调性比较大小可得答案。【知识点】对数的运算性质17．已知函数 ㌳log ㌳，则不等式 ൏ 的解集为() m 【解析】【解答】设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间为 秒，则有 ，A． 〸，䁎 䁎，〸 B． 䁎，〸 . m䁎m〸两边取常用对数，得lg lg m m m〸C． mm . m䁎m〸 lg lg . m䁎 ，〸 D． ， 〸〸 m lg lg m m lg lg m m lg m lg m m〸lg m m . ，【答案】C所以 m䁎m . m䁎m m䁎䁎. m. m䁎m .【知识点】对数函数的单调性与特殊点；绝对值不等式的解法故答案为：B.【解析】【解答】 ㌳log m ㌳൏ ൏log ൏ ൏ ൏ 〸，〸 ．故答案为：C﹒ m 【分析】根据题意所求时间为 ，利用对数的运算进行求解即可. . m䁎m〸n20．设函数 ㌳sin ㌳，若 ln ， logm ，mlog log m log log m t䁎，log log〸 log〸 log ，log log〸 log〸 log t䁎， ，则（）则（）A． ൏ ൏ B． ൏ ൏ C． ൏ ൏ D． ൏ ൏ A． ൏ B． ൏ C． ൏ D． ൏ 【答案】D【答案】B,C【知识点】对数的运算性质；正弦函数的奇偶性与对称性【知识点】指数函数的图象与性质；指数式与对数式的互化；对数函数的图象与性质【解析】【解答】函数 ㌳sin ㌳为偶函数且 为其一条对称轴，故 logm log ，显然䁎൏ 【解析】【解答】∵log log log log ，∴log ，log ，∴ . m m m mm ln log ln ൏ln ൏m，故 ൏ .设 ，∵ 䁎 m mt䁎， m m ൏䁎， 在 䁎， 上先增后减， m 因为m. ൏ ൏m. ，m. ൏ ൏m. ，ln ൏m൏ ，所以 ൏ ，所以 ൏ ൏ .∴ m， .故答案为：D.∵log log〸 log〸 log ，∴logm ，log ，〸 log 〸 【分析】由分析知函数 ㌳sin ㌳为偶函数且 为其一条对称轴，由此判断a，b，c的大小关系. ∴〸 m，二、多选题∴ m.21．已知 〸 䁎 ，则下列结论正确的是（）∵log log〸 log〸 log t䁎，A．㌳ ㌳ B．㌳ ㌳ ∴ 〸 〸 mm C．log ㌳ ㌳ log ㌳ ㌳൏ D．㌳ ㌳ ㌳ ㌳t 设 〸 〸 ，【答案】A,B,C∵ 䁎 mt䁎， m m ൏䁎， 〸 〸 在 䁎， 上先增后减，【知识点】对数的运算性质；基本不等式；点到直线的距离公式㌳ ㌳ ∴ 䁎，m .【解析【】解答】对于A，㌳ ㌳ ，即 ，其几何意义为圆 〸 䁎 上的点到直线 䁎 ∴ ൏ ൏ .㌳ ㌳的距离小于等于2，因为圆的圆心 䁎，䁎 在直线 䁎上，且圆的半径为2，所以 恒成立，A符 故答案为：BC.合题意；对于B，〸 ㌳ ㌳，即㌳ ㌳ ，当且仅当㌳ ㌳ ㌳ ㌳ 时取等号，B符合题意；【分析】由log log log log ，可得 .设 ，由 在 䁎， m mm 对于C，log ㌳ ㌳ log ㌳ ㌳ log ㌳ ㌳ log m൏ 䁎， 䁎 ，C符合题意； 上先增后减，可得 m， ，再结合log log〸 log〸 log 可得 m，由log log〸 mm对于D，取㌳ ㌳ ㌳ ㌳ ，满足 〸 䁎 ，此时 ，D不符合题意.㌳ ㌳㌳ ㌳log log t䁎可得 〸 〸 ，构造函数 〸 〸 ，由 〸 〸 在 䁎， 上先增后减，〸 故答案为：ABC．得 䁎，m ，即可求解。【分析】由点到直线 䁎的距离公式即可判断A，由基本不等式可判断B，C，通过特殊值㌳ ㌳ ㌳ ㌳ 23．已知实数 ， 满足䁫 䁫 䁫 〸 ，则下列结论正确的是（）即可判断D.A． 的最小值为16B． 的最大值为922．已知函数 在 䁎， 上先增后减，函数 〸 〸 在 䁎， 上先增后减.若〸mC． 的最大值为9D． 的最大值为 n【答案】A,Dm【答案】 【知识点】对数的运算性质；基本不等式【知识点】对数的运算性质【解析】【解答】解：因为䁫 䁫 䁫 〸 ，则 ＞䁎， ＞䁎， 〸 ；log〸 ， t䁎m【解析】【解答】因为 ，则 〸 〸 log〸 . ， 䁎 则 〸 〸 〸 ，即 〸， m ，当且仅当 〸 时，即 ， 时等号成立，mA项正确，C项错误；故答案为： .m〸m〸〸 〸 因为 ＞䁎， ＞䁎， 〸 ，则 m， ，当且 【分析】利用分段函数的性质、对数数的运算性质即可求出 〸 的值。〸 仅当 时，即 ， 时等号成立，故 的最小值为9，B项错误； 〸〸26．已知函数 ln ，若 m，则 .〸m〸m〸m因为 ＞䁎， ＞䁎， 〸 ， ，当且仅当 时，即 ， 时等号成【答案】4立，D项正确.【知识点】函数的值；对数的概念故答案为：AD.【解析】【解答】因为 ln ，则 m，则ln m，即 ；又 〸 〸 ln 〸 ln 〸 ln 〸 ln 〸 〸.【分析】由已知结合对数的运算性及基本不等式检验各选项即可得答案.故答案为：4.24．若实数a，b满足ln ൏ln ൏䁎，则下列结论中正确的是（）A． ൏ B．mmC．log ൏log D． t 【分析】根据题意由对数的运算性质，结合已知条件计算出结果即可。൏ 27．在研究天文学的过程中，约翰纳皮尔为了简化其中的计算而发明了对数，恩格斯曾经把对数的发明和解析【答案】B,C,Dm【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点；不等式的基本性质几何的创始､微积分的建立称为17世纪数学的三大成就.已知log lg ，则实数x，y的大小关系【解析】【解答】因ln ൏ln ൏䁎，则䁎൏ ൏ ൏m，于是有 ൏ ，A不正确；为，log .mm mm，B符合题意；【答案】x＜y；10 ൏䁎，即൏ 【知识点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质mm由䁎൏ ൏ ൏m得：log ൏log ൏䁎 log൏log ൏䁎，因此，log ൏log ，C符合题意； lg 【解析】【解答】因为log lg ，所以lg lg lg ൏lg ，所以 ൏ ，lg 因䁎൏ ൏ ൏m，函数 在R上单调递减，函数 在 䁎， 上单调递增，则 t t ，又因为logm，所以mlog logm log m䁎， ，所以 D符合题意.故答案为：x＜y，10故答案为：BCDmm【分析】根据给定条件，求出a，b的关系，再利用不等式性质判断A，B；指对数函数、幂函数单调性分析判【分析】由题意易得lg lg lg ，即可得x<y，再由log ，指对互换得到 ，即可求解。断C，D作答. m， 28．已知 ，则 log .三、填空题 m ， ൏ 25．已知函数 log〸 ， t䁎【答案】11，则 〸 的值为． ， 䁎【知识点】对数的运算性质；分段函数的应用n【解析】【解答】由于m൏log ൏ ， ൏m log ൏ ， ൏ log ൏〸，【知识点】反函数从而 log m log log log m 〸 m mm.【解析】【解答】设 ，则点 ， 在函数 log m的图象上，故答案为：11.所以，log m ，解得 〸，因此， 〸.故答案为：4.【分析】根据log 的范围循环代入分段函数的下段，当满足自变量的值大于等于3时代入 的解析式求值.29．已知lg ， m䁎，则 ； ．【分析】设 ，利用反函数的性质求出 的值，即可得解.32．某牧场2022年年初牛的存栏数为1200，计划以后每年存栏数的增长率为20%，且在每年年底卖出100头【答案】10；1牛，按照该计划预计年初的存栏量首次超过8900头.（参考数据：lg 䁎. 䁎m䁎，lg 䁎.〸 m）【知识点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质【答案】2036【解析】【解答】 m䁎 log m䁎，【知识点】对数的运算性质；等比数列的通项公式m∴lg log log m䁎 ，解得log m䁎 m m䁎，∴ m﹒ m䁎∗【解析】【解答】设牧场从2022年起每年年初的计划存栏数依次为 m， ， ，…， ，…，其中 ，故答案为：10；1﹒由题意得 m m 䁎䁎，并且 m m. m䁎䁎，设 m m. ，则 m m. 䁎. ，则0.2x＝100，则x＝500，【分析】利用指对互化，结合对数的运算性质进行计算可得答案。∴ m 䁎䁎 m. 䁎䁎 ，即数列{ 䁎䁎}是首项为 m 䁎䁎 䁎䁎，公比为1.2的等比数列，则 m30．已知函数 log ， [䁎， ]，若 m [䁎， ]， [䁎， ]，使得 m ，则 䁎䁎 䁎䁎 m. m，则 䁎䁎 䁎䁎 m. m， ．令 䁎䁎 䁎䁎 m. mt 䁎䁎，则m. mlgm ， tm ，即 m tlgm m【答案】78 lg lg 即 m t m . 〸 ，所以 tm〸. 〸 ，因此 m . lg lg m【知识点】对数的运算性质2022+14=2036年年初存栏数首次突破8900，m【解析】【解答】 m [䁎， ]时， m [ ，䁫 ]，故答案为：2036m [䁎， ]时， [ ，䁫 ]，∵ t䁎， t ，logm [m， ]，【分析】可以利用“每年存栏数的增长率为20%”和“每年年底卖出100头”建立相邻两年的关系，用待定系数 t䁎， 䁫 法构造等比数列，求出通项公式即可求解.mm由题意可知，[，䁫 ] [， ]， 䁫 m 33．已知 ，则 ，则A等于．mm 䁫 ∴䁫 ， ，∴log ，∴ ﹒【答案】 䁫 䁫 【知识点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质故答案为：78．【解析】【解答】∵ ，∴ log ， log ， t䁎.mmm【分析】根据题意可知，y=f(x)的值域应该是 值域的子集，据此即可求解出m的值.∴ log ， log .31．函数 的反函数为 log m，则 .又∵m ， 【答案】4n log log log log ，36．生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵即log ，∴ ， t䁎 .物种的个体平均繁殖数量为 ，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵故答案为： 初期，可用对数模型 ln （ 为常数）来描述该物种累计繁殖数量 与入侵时间K（单位：天）之间的 对应关系，且 m，在物种入侵初期，基于现有数据得出 ， 䁎.据此估计该物种累计繁殖数量 【分析】将指数式化为对数式，然后利用对数运算，化简求得A的值。比初始累计繁殖数量增加mm倍所需要的时间为（ln 䁎. ，ln m.m䁎）天.34．某射手每次射击击中目标的概率均为0.6，该名射手至少需要射击次才能使目标被击中的概率超【答案】24.8过0.999，（参考数据：䁫 䁎. 䁎m䁎，䁫 䁎.〸 m）【知识点】对数的运算性质【答案】8 䁎【解析】【解答】解： m， ， 䁎， m，解得： m䁎． 【知识点】对数的运算性质设初始时间为 m，初始累计繁殖数量为 ，累计繁殖数量增加11倍后的时间为 ，【解析】【解答】设某射手射击n次，则目标被击中的概率 m m 䁎. m 䁎.〸 ，则 m ln m ln lnm m䁎 ln ln 〸. （天 ．∴令m 䁎.〸 䁎. ，䁎.〸 䁎.䁎䁎m，故答案为：24.8． ∗∴䁫 䁎.〸 䁫 䁎.䁎䁎m，∴ . ， ，䁫 䁎.〸 䁫 m故 min ，【分析】根据已知数据可求出 ，设初始时间为 m，初始累计繁殖数量为 ，累计繁殖数量增加11倍后的时间故答案为：8为 ，利用 m，结合对数运算性质可求出答案.37．如图，某荷塘里浮萍的面积y（单位： ）与时间t（单位：月）满足关系式： ln （a为常数），记【分析】设某射手射击n次，表示出目标被击中的概率，列出相应不等式，结合对数运算，求得答案. （ 䁎）．给出下列四个结论：35．设 是定义在 上的奇函数，当 t䁎时， 䁎൏ ൏m， ，若 存在反函数，则 ∗ ，则数列 ①设 是等比数列；的取值范围是．②存在唯一的实数 䁎 m， ，使得 m 䁎 成立，其中 是 的导函数；【答案】b≤-1③常数 m， ；【知识点】函数单调性的判断与证明；反函数④记浮萍蔓延到 ， ， 所经过的时间分别为 m， ， ，则 m t ．【解析】【解答】当 ൏䁎时， t䁎， ， 是定义在 上的奇函数，所以 其中所有正确结论的序号是． ， t䁎 ，即 ൏䁎时， ，所以 ， ൏䁎，若 存在反函数，则 为单调【答案】①②④䁎， 䁎【知识点】对数函数的图象与性质；指数函数与对数函数的关系；利用导数研究函数的单调性；等比数列；函数零函数， 䁎൏ ൏m，所以 为定义在 上的单调递减函数，所以 䁎 䁎 䁎 ，所以b≤-1.点的判定定理故答案为：b≤-1.【解析】【解答】解：依题意 ln ，因为 䁎 䁎ln ൏m，所以䁎൏ ൏ 且 m，又 ln ，所以ln t䁎，所以m൏ ൏ ，即 m， ， ， t䁎令 ln ， m， ，则 ln t䁎，【分析】由奇函数的性质可得 ， ൏䁎，由 存在反函数，可知此函数为单调函数，进而䁎， 䁎 则 ln 在 m， 上单调递增，又 ln ൏ ，所以 ， ，故③错误；可求解。n由已知可得 ln ，则 m m mln ， m m ln ，mmmm【答案】[ ， ，] 所以 m mln ln ，所以 是以 ln 为首项， 为公比的等比数列，故①正确；【知识点】对数函数图象与性质的综合应用令 ln ，则 ln ， ln ， m ln ，【解析】【解答】因为 m 是偶函数，所以有 m m ，令 䁎 䁎 ln ln ln ，则 䁎 䁎 ln ， 䁎 m， ，所以函数 的对称轴为 m，由 m m ，因为 ， ，所以 䁎 䁎 ln t䁎，即 䁎 䁎 ln ln ln ，在 䁎 m， 上单调递增，而 是定义在R上的奇函数，因为 ， ，所以ln ൏䁎，ln m൏䁎， ln t䁎，所以有 ，因此有 ，令 ln m， ， ，则 mm 因此 〸 ，所以 〸 ， m ൏䁎，所以 ln m，在 ， 上单 因此函数 的周期为〸，调递减，当 m 䁎时， log m ，且 ln m ln m൏䁎，即 ln m൏䁎，当m൏ 时， log m log ，令 ln m， ， ，则 ln t䁎，所以 ln m在 ， 上单调递增，当 ൏ m时， log ；又 ln m ln mt䁎，所以 ln mt䁎，当 ൏ 时， 〸 log 〸 log m 所以 m ln ln ln ln ln ln ln ln m ൏䁎，当 ൏ 〸时， 〸 log 〸 m log ， ln ln ln ln ln m ln ln ln m t䁎，因此有：故存在 䁎 m， 上， 䁎 䁎，故②正确；当䁎 m时， ㌳ ㌳ ㌳ ㌳ ㌳ log m ㌳ log ㌳ ㌳ m 䁎；依题意 mln 、 ln 、 ln ，所以 mln ln m ln ，当m൏ 时， ㌳ ㌳ ㌳ ㌳ ㌳ log ㌳ log ㌳ ㌳ 䁎； 所以 m ln ，则 m ln m，即 m ln m，当 ൏ 时， ㌳ ㌳ ㌳ ㌳ ㌳log m ㌳ log m ㌳ ㌳ log m ； ln m当 ൏ 〸时， ㌳ ㌳ ㌳ ㌳ ㌳log ㌳ log ㌳ ㌳ log ，ln 所以 m ln ，ln 当 䁎时， ㌳ ㌳ ㌳ ㌳ ㌳ ㌳ ，mmmln 因为 ， ，所以ln ൏ln ൏m，所以m൏൏൏ ൏ ，所以䁎൏ln ൏m，因为 〸 ㌳ 〸 ㌳ 〸 ㌳ ㌳ ，ln ln ln 所以 m t䁎，即 m t ，故④正确；所以函数 的周期为〸，故答案为：①②④所以函数 ㌳ ㌳ ㌳ ㌳ 的图象如下图所示：关于x的方程 䁎有5个不同的实根，【分析】根据 䁎 䁎ln ൏m、 ln 求出a的取值范围，即可判断③，再根据等比数列的定义等价于函数 的图象与直线 有5个不同的交点，判断①，构造函数利用导数说明函数的单调性，再结合零点存在性定理判断②，根据指数对数的关系及对数当 ൏䁎时，当直线经过 m䁎，䁎 时，此时函数 的图象与直线 有5个不同的交点，则有䁎 函数的性质判断④.mm䁎 ， 38．已知 是定义在R上的奇函数，且 m 是偶函数，当䁎 m时， log m ．设 ㌳ ㌳ ㌳ ㌳ ，若关于x的方程 䁎有5个不同的实根，则实数m的取值范围当直线经过 m ，䁎 时，此时函数 的图象与直线 有6个不同的交点，则有䁎 m 是．m ， nmm因此当 ൏ 时，函数 的图象与直线 有5个不同的交点， 当 t䁎时，当直线经过 m䁎，䁎 时，此时函数 的图象与直线 有5个不同的交点，则有m䁎 m䁎 ， 当直线经过 m ，䁎 时，此时函数 的图象与直线 有6个不同的交点，则有䁎 m m ， mm因此当൏ 时，函数 的图象与直线 有5个不同的交点， 当 䁎时，函数 的图象与直线 没有交点，mmmm所以实数m的取值范围是 ൏ 或൏ ， mmmm故答案为：[ ， ，] 【分析】 m 是偶函数， ，根据已知 是定义在R上的奇函数，推出 〸 ，因此函数 的周期为〸，结合对数函数知函数 的周期为〸，函数 的图象与直线 有5个不同的交点，数形结合即可得出结论.
3.6对数与对数函数——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）解析版
2023-02-25
9页
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