3.9函数模型及其应用——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）一、单选题1．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为P=P0e−kt，其中P0，k是正的常数．如果在前10h污染物减少19%，那么再过5h后污染物还剩余（　　）A．40.5%B．54%C．65.6%D．72.9%【答案】D【知识点】根据实际问题选择函数类型【解析】【解答】由题设，(1−19%)P0=P0e−10k，可得e−5k=0.9，再过5个小时，P=(1−19%)P0e−5k=(0.81×0.9)P0=0.729P0，所以最后还剩余72.9%.故答案为：D【分析】根据给定的函数模型及已知可得e−5k=0.9，再计算5h后污染物剩余量.2．某高山地区的大气压强p（Pa）与海拔高度h（m）近似满足函数关系p=p0e−kh，其中k=0.000126，p0是海平面大气压强，已知在该地区甲、乙两处测得的大气压强分别为p1，p2，且p1p2=12，那么甲、乙两处的海拔高度之差约为（　　）（参考数据：ln2≈0.693）A．4900mB．5500mC．6200mD．7400m【答案】B【知识点】函数模型的选择与应用【解析】【解答】记甲、乙两处的海拔高度分别为h1，h2，则由题可知：p1p2=p0e−kh1p0e−kh2=e−k(h1−h2)=12，则h1−h2=ln2k=0.6930.000126=5500m故答案为：B【分析】设甲、乙两处的海拔高度分别为h1，h2，则p1p2=12可得关于h1，h2的关系式，整理求得h1−h2的值.3．声音大小（单位：dB）取决于声波通过介质时所产生的压力（简称声压，单位：N/m2）变化.已知声压x与声音大小y的关系式为y=10×lg(x2×10−5)2.根据我国《工业企业噪声卫生标准》规定，新建企业工作地点噪音容许标准为85dB.若某新建企业运行时测得的声音大小为60dB，符合《工业企业噪声卫生标准》规定，则此时声压为（　　）A．2N/m2B．20N/m2C．0.2N/m2D．0.02N/m2【答案】D【知识点】根据实际问题选择函数类型【解析】【解答】由题意可得10×1g(x2×10−5)2=60，所以1gx2×10−5=3，解得x=0.02.故答案为：D.【分析】在已知函数解析式中，取y=60求得x值即可得出答案。4．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：∘C）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718⋯为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0∘C的保鲜时间是192小时，在22∘C的保鲜时间是48小时，则该食品在33∘C的保鲜时间是（　　）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时【答案】C【知识点】函数模型的选择与应用【解析】【解答】由题意，得192=eb48=e22k+b，即192=eb12=e11k，于是当x＝33时，y=e33k+b=(e11k)3⋅eb=(12)3×192＝24(小时)。故答案为：C.【分析】利用已知条件结合代入法得出b，k的值，进而得出某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：∘C）的函数关系式，再结合指数幂的运算法则和代入法，进而得出该食品在33∘C的保鲜时间。5．搭载神州十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，精准点火发射后约582秒，进入预定轨道，发射取得圆满成功．据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：m/s）和燃料的质量M（单位：kg）、火箭的质量m（除燃料外，单位：kg）的函数关系是v=2000ln(1+Mm)．当火箭的最大速度为11.5km/s时，Mm约等于（　　）（参考数据：e5.75≈314）A．313B．314C．312D．311【答案】A【知识点】函数模型的选择与应用【解析】【解答】火箭的最大速度为11.5km/s，即v=11.5×1000=11500m/s，n所以11500=2000ln(1+Mm)，所以ln(1+Mm)=115002000=11520=5.75，即Mm=e5.75−1=314−1=313。故答案为：A【分析】利用已知条件结合对数的运算法则和指数与对数的互化公式，进而得出Mm的值。6．在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数可以表示为π(x)≈xlnx的结论．若根据欧拉得出的结论，估计105以内的素数的个数为（　　）（素数即质数，lge≈0.4343，计算结果取整数）A．2172B．4343C．869D．8686【答案】D【知识点】函数模型的选择与应用【解析】【解答】π(105)≈105ln105=1055ln10=2×104ln10=2×104×lge≈2×104×0.4343=2×4343=8686。故答案为：D【分析】利用已知条件结合欧拉得出的结论和对数的运算法则以及换底公式，进而估计105以内的素数的个数。7．为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为2000万元，在此基础上，以后每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是（参考数据：ln6≈1.79，ln5≈1.61）（　　）A．2030年B．2029年C．2028年D．2027年【答案】B【知识点】对数的运算性质；对数函数的图象与性质；根据实际问题选择函数类型【解析】【解答】设经过n年之后，投入资金为y万元，则y=2000(1+0.2)n，由题意可得：y=2000(1+0.2)n>10000，即1.2n>5，所以nln1.2>ln5，即n>ln5ln1.2=ln5ln65=ln5ln6−ln5≈1.611.79−1.61≈8.94，又因为n∈N*，∴n≥9，即从2029年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1亿元.故答案为：B．【分析】由已知条件即可得出函数的解析式，再由题意即可得出不等式结合对数的运算性质，求解出n的取值范围，从而得出答案。8．某种商品进货价为每件200元，售价为进货价的125%，因库存积压，若按9折出售，每件还可获利（　　）A．45元B．35元C．25元D．15元【答案】C【知识点】函数模型的选择与应用【解析】【解答】无折扣的售价为：200×125%=250（元），打折后售价为：250×0.9=225(元)，获利；225-200=25(元)，所以若按9折出售，每件还可获利25元。故答案为：C.【分析】利用已知条件建立函数的模型，再结合函数的模型求出若按9折出售，每件还可获利的钱数。9．我国在防震减灾中取得了伟大成就，并从2009年起，将每年5月12日定为全国“防灾减灾日”．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，地震学家查尔斯·里克林提出了关系式：lgE=4.8+1.5M，其中E为地震释放出的能量，M为地震的里氏震级．已知2008年5月12日我国发生的汶川地震的里氏震级为8.0级，2017年8月8日我国发生的九寨沟地震的里氏震级为7.0级，可知汶川地震释放的能量约为九寨沟地震的（　　）（参考数据：3100≈21.5，1000≈31.6）A．9.6倍B．21.5倍C．31.6倍D．47.4倍【答案】C【知识点】根据实际问题选择函数类型【解析】【解答】在lgE=4.8+1.5M中，令M=8，得lgE=4.8+1.5×8=16.8⇒E=1016.8，因此汶川地震释放的能量1016.8，令M=7，得lgE=4.8+1.5×7=15.3⇒E=1015.3，因此九寨沟地震释放的能量1015.3，所以汶川地震释放的能量约为九寨沟地震的1016.81015.3=101.5=1032=103=1000≈31.6倍，故答案为：C【分析】根据关系式，利用代入法，结合题中所给的参考数据进行求解，即可得出答案。n10．2021年10月12日，习近平总书记在《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山．良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲．”某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为P=P0⋅e−kt(t≥0)，其中k为常数，k>0，P0为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（　　）A．5%B．3%C．2%D．1%【答案】B【知识点】根据实际问题选择函数类型【解析】【解答】由题可得，前4小时，废气中的污染物恰好被过滤掉90%，故由P=P0⋅e−kt得(1−90%)P0=P0e−4k，所以0.1=e−4k，即k=14ln10，由再过滤2小时，即共6小时，空气中剩余污染物为P=P0e−6k=P0e−6(14ln10)=P0e−32ln10=P0eln10−32=P0(10−32)=10100P0，10∈(3，3.5)，故污染物所剩比率约为3%P0，故答案为：B【分析】根据题意可得(1−90%)P0=P0e−4k，解得k的值，从而求得P与t的函数关系式，令t=6计算可得答案.11．区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有2512种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行2512次运算.现在有一台计算机，每秒能进行1.25×1013次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为（　　）（参考数据：lg2≈0.3，10≈3.16）A．6.32×10141sB．6.32×10140sC．3.16×10141sD．3.16×10140s【答案】D【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的运算性质；函数模型的选择与应用【解析】【解答】设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间为x秒，则有x=25121.25×1013；两边取常用对数，得lgx=lg25121.25×1013=lg2512−lg1.25×1013；lgx=512lg2−(lg1.25+13)=512lg2−(3lg5+11)=512lg2−3(1−lg2)−11=515lg2−14≈140.5；所以x=10140.5=10140×100.5≈3.16×10140。故答案为：D.【分析】利用已知条件结合指数与对数的互化公式，再结合对数的运算法则和指数幂的运算法则，进而得出在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间。12．生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型K(n)=λlnn（λ为常数）来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K（单位：天）之间的对应关系，且Q=Tλ+1，在物种入侵初期，基于现有数据得出Q=6，T=50.据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加11倍所需要的时间为（ln2≈0.69，ln3≈1.10）（　　）A．22.0天B．13.8天C．24.8天D．17.9天【答案】C【知识点】函数模型的选择与应用【解析】【解答】∵Q=Tλ+1，Q=6，T=50，∴6=50λ+1，解得：λ=10.设初始时间为K1，初始累计繁殖数量为n，累计繁殖数量增加11倍后的时间为K2，则K2−K1=λln(12n)−λlnn=λln12=10(2ln2+ln3)≈24.8（天）.故答案为：C.【分析】根据已知数据可求得λ，设初始时间为K1，累计繁殖数量增加11倍后的时间为K2，利用K2−K1，结合对数运算法则可求得结果.13．异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重x满足y=kxα，其中k和α为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则α为（　　）A．14B．12C．23D．34【答案】D【知识点】根据实际问题选择函数类型【解析】【解答】设初始状态为(x1，y1)，则x2=16x1，y2=8y1，又y1=kx1α，y2=kx2α，即8y1=k(16x1)α=k⋅16αx1α，n8y1y1=k⋅16αx1αkx1α，16α=8，24α=23，4α=3，α=34．故答案为：D．【分析】设初始状态为(x1，y1)，根据x2，x1，y2，y1的关系代入求解可得答案。14．双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式C=In⋅t，其中n=log322为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流I=10A时，放电时间t=57h，则当放电电流I=15A，放电时间为（　　）A．28hB．28.5hC．29hD．29.5h【答案】B【知识点】函数模型的选择与应用【解析】【解答】根据题意可得C=57⋅10n，则当I=15A时，57⋅10n=15n⋅t，所以t=57⋅(23)n=57⋅(23)log322=57⋅(23)log2312=28.5h，即当放电电流I=15A，放电时间为28.5h。故答案为：B.【分析】利用已知条件结合函数的模型，再利用指数恒等式得出当放电电流I=15A时的放电时间。15．2021年5月15日7时18分，天问一号探测器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，航天技术得以发展，得益于如下的齐奥尔科大斯基公式：vf=v0+ωlnm0mk，其中m0，mk分别为燃料燃烧前与燃烧后的火箭质量，ω是燃料喷出的速度，v0是火箭的初速度，vf是燃料完全燃尽时火箭的速度，现准备发射一个二级火箭（初速度v0=0），每级火箭的箭体结构的质量均为50吨，每级火箭携带的燃料质量均为250吨，燃料喷出的速度为3000m/s，先点燃第一级火箭燃料，燃料燃尽后，第一级火箭自动脱离，同时点燃第二级火箭的燃料，则当第二级火箭的燃料燃尽时，火箭的速度约为（　　）（参考数据：ln3≈1.10，ln2≈0.69）A．6940m/sB．7440m/sC．7840m/sD．8670m/s【答案】B【知识点】函数的应用【解析】【解答】第一级火箭燃料燃尽时，火箭的速度v1=3000⋅ln600300m/s，第二级火箭燃料燃尽时，火箭的速度v2=v1+3000⋅ln30050=3000(2ln2+ln3)≈7440m/s.故答案为：B【分析】由题意可确v1，再结合v2=v1+3000⋅ln30050即可求解。16．茶文化起源于中国，中国饮茶据说始于神农时代．现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60℃．一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80℃，68℃，给出三个茶温T（单位：℃）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟）的函数模型：①T=at+b(a<0)；②T=logat+b(0<a<1)；③T=20+b⋅at(b>0，0<a<1)．根据生活常识，从这三个函数模型中选择一个，模拟茶温T（单位：℃）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟）的关系，并依此计算该杯茶泡好后到饮用至少需要等待的时间为（参考数据lg2≈0.301，lg3≈0.477）（　　）A．2.72分钟B．2.82分钟C．2.92分钟D．3.02分钟【答案】B【知识点】根据实际问题选择函数类型【解析】【解答】依据生活常识，茶温一般不会低于室内温度，因此选择模型③，得到80=20+ba，68=20+ba2，解得a=45，b=75，因此20+75⋅(45)t≤60⇒(45)t≤815⇒t≥3lg2−lg3−lg52lg2−lg5≈2.814．故答案为：B【分析】由生活常识，茶温高于室温可选模型③，利用模型计算即可.17．“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2mg/cm3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2mg/cm3，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（　　）（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.477）A．5B．7C．8D．9【答案】C【知识点】根据实际问题选择函数类型n【解析】【解答】解：设该污染物排放前过滤的次数为n(n∈N*)，由题意1.2×0.8n≤0.2，即(54)n≥6，两边取以10为底的对数可得lg(54)n≥lg6，即nlg(5×28)≥lg2+lg3，所以n≥lg2+lg31−3lg2，因为lg2≈0.3，lg3≈0.477，所以lg2+lg31−3lg2≈0.3+0.4771−3×0.3=7.77，所以n≥7.77，又n∈N*，所以nmin=8，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8次.故答案为：C.【分析】设该污染物排放前过滤的次数为n(n∈N*)由题意1.2×0.8n≤0.2，两边取以10为底的对数可得n≥lg2+lg31−3lg2，根据参考数据即可求解出答案.18．2021年，郑州大学考古科学队在荣阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊．利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊．已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足N=N0⋅(12)t5730（N0表示碳14原有的质量）．经过测定，官庄遗址青铜布币样本中碳14的质量约是原来的22至34，据此推测青铜布币生产的时期距今约多少年？（　　）（参考数据：log23≈1.6）A．2600年B．3100年C．3200年D．3300年【答案】A【知识点】根据实际问题选择函数类型【解析】【解答】由题意得：22N0<N0⋅(12)t5730<34N0，解得：2292<t<2865，故答案为：A.故答案为：A【分析】根据题意列出不等式，求出2292<t<2865，从而求出答案。19．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：m/s）可以表示为v=12log3Q100，其中Q表示鲑鱼的耗氧量，则鲑鱼以1.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为（　　）A．2600B．2700C．2D．27【答案】D【知识点】根据实际问题选择函数类型【解析】【解答】解：因为鲑鱼的游速(单位：m/s)可以表示为v=12log3Q100，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数，当一条鲑鱼静止时，v=0，此时0=12log3Q1100，则Q1100=1，耗氧量为Q1=100；当一条鲑鱼以1.5m/s的速度游动时，v=1.5，此时1.5=12log3Q100，所以log3Q100=3，则Q100=27，即耗氧量为Q=2700，因此鲑鱼以1.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为2700100=27.故答案为：D.【分析】根据题中函数关系式，令v=0和1.5，分别求出对应的Q，即可得出答案.20．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料的质量M（单位：kg），火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系是v=2000ln(1+Mm)．当燃料质量与火箭质量的比值为t0时，火箭的最大速度可达到v0km/s．若要使火箭的最大速度达到2v0km/s，则燃料质量与火箭质量的比值应为（　　）A．2t02B．t02+t0C．2t0D．t02+2t0【答案】D【知识点】函数模型的选择与应用【解析】【解答】由题意得：v0=2000ln(1+t0)，∴2v0=4000ln(1+t0)=2000ln(1+t0)2=2000ln(1+t02+2t0)，∴Mm=t02+2t0，即当火箭的最大速度达到2v0km/s，则燃料质量与火箭质量的比值为t02+2t0。故答案为：D.【分析】利用已知条件结合v0=2000ln(1+t0)得出Mm=t02+2t0，再利用火箭的最大速度，进而得出燃料质量与火箭质量的比值。21．有这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为a，厚度为x的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为12a，厚度变为4x.在理想情况下，对折次数n满足关系：n≤log8(ax)2，根据以上信息，一张长为40cm，厚度为0.1mm的纸经过对折后的厚度的最大值约为（　　）（lg2≈0.3）A．1.28cmB．2.56cmC．12.8cmD．25.6cmn【答案】B【知识点】对数的运算性质；函数的应用【解析】【解答】因为对折次数n≤log8(400.01)2=2log84000=2lg4000lg8，n≤2(lg4+lg1000)lg8=2(2lg2+3)3lg2≈8，所以这张纸最多能对折8次.因为对折n次后，纸张的厚度为2nx，所以对折8次后这张纸的厚度为28×0.01=2.56cm.故答案为：B【分析】由已知条件得n≤2(lg4+lg1000)lg8=2(2lg2+3)3lg2，即纸最多对折8次，再计算对折后的厚度即可.22．我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农(Shannon)公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C的公式C＝W⋅log2(1+SN）”，其中W是信道带宽（赫兹），S是信道内所传信号的平均功率（瓦），N是信道内部的高斯嗓声功率（瓦），其中SN叫做信噪比．根据此公式，在不改变W的前提下，将信噪比从99提升至λ，使得C大约增加了60%，则λ的值大约为（）（参考数据：100.2≈1.58）A．1559B．1579C．3160D．2512【答案】B【知识点】对数函数的图象与性质；函数的应用【解析】【解答】依题意，当SN=99时，C=Wlog2100，当SN=λ时，1.6C=Wlog2(1+λ)，所以1.6Wlog2100=Wlog2(1+λ)，故1+λ=1001.6=103.2，λ=103.2−1=103×100.2−1≈1579.故答案为：B【分析】由题意可得λ的方程，再由对数的运算性质求解即可.23．声压级Lp=LW−10lg(4πr2)，是一个表示声强大小的量，单位为dB（分贝），其中LW为特定的点声源的声功率级，是常量，r为测试点与点声源的距离（单位：米），当测试点从距离点声源2米处移到1米处时，声压级约增加了(lg2≈0.30，lg3≈0.48)（　　）A．4dBB．6dBC．7dBD．9.6dB【答案】B【知识点】函数模型的选择与应用【解析】【解答】当r=2时，声压级Lp1=LW−10×lg(16π)，当r=1时，声压级Lp2=LW−10×lg(4π)，则Lp2−Lp1=−10×lg(4π)+10×lg(16π)=10×lg4=20×lg2≈6。故答案为：B．【分析】利用已知条件结合代入法和对数的运算法则，进而结合作差法求出声压级约增加了的分贝。24．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.假设某种传染病的基本传染数为R0，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗（VN称为接种率），那么1个感染者传染人数为R0N(N−V).已知某种传染病在某地的基本传染数R0=4，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率至少为（　　）A．45%B．55%C．65%D．75%【答案】D【知识点】函数模型的选择与应用【解析】【解答】为了使得1个感染者传染人数不超过1，只需R0N(N−V)≤1，即R0⋅(1−VN)≤1，因为R0=4，故1−VN≤14，可得VN≥34。故答案为：D.【分析】利用已知条件得出R0N(N−V)≤1，再利用R0=4结合代入法，从而解不等式得出VN的取值范围，进而得出该地疫苗的接种率至少的百分数。25．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂一千五百二十岁，⋅⋅⋅．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有19位老人与1位义工，老人与义工的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中义工年龄不满24岁，老人的年龄依次相差1岁，则义工的年龄为（　　）A．18岁B．19岁C．20岁D．21岁【答案】B【知识点】根据实际问题选择函数类型；等差数列的前n项和【解析】【解答】设19位老人的年龄由小到大依次为a1、a2、⋯、a19（单位：岁），设义工的年龄为x岁，由已知可得a1+a2+⋯+a19+x=19(a1+a19)2+x=19a10+x=150，则19a10=1520−x，∵1≤x≤24且x∈N∗，则19a10=1520−x∈[1496，1519]，而在[1496，1519]内能被19整除的正整数为1501，则1520−x=1501，解得x=19.故答案为：B.n【分析】设19位老人的年龄由小到大依次为a1、a2、⋯、a19（单位：岁），设义工的年龄为x岁，可得出19a10=1520−x，可知1520−x您被19整除，求出1520−x的取值范围，可得出1520−x的值，由此求出x的值，即可求出答案。26．新冠肺炎疫情是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t（单位：天）的变化规律，其中指数增长率r≈0.38，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数扩大到原来的10倍需要的时间约为（ln10≈2.30）（　　）A．4天B．6天C．8天D．10天【答案】B【知识点】指数式与对数式的互化；函数模型的选择与应用【解析】【解答】设所需时间为t1，则e0.38(t+t1)=10e0.38t，则e0.38t1=10，∴0.38t1=ln10≈2.3，∴t1=2.30.38≈6。故答案为：B.【分析】利用已知条件结合指数与对数的互化公式，从而求出在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数扩大到原来的10倍需要的时间。27．一种药在病人血液中的量保持在1500mg以上才有效，而低于500mg病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，应该经过（　　）小时向病人的血液补充这种药．（附：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，答案采取四舍五入精确到0.1）A．8.8小时B．4.8小时C．3.5小时D．2.3小时【答案】B【知识点】对数的运算性质；根据实际问题选择函数类型【解析】【解答】解：设从现在起经过x小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．则2500×0.9x=1500，0.9x=0.6，lg0.9x=lg0.6，xlg0.9=lg0.6，x=lg0.6lg0.9=lg610lg910=lg2+lg3−12lg3−1=0.301+0.4771−12×0.4771−1≈4.8．故答案为：B．【分析】设从现在起经过x小时向病人的血液补充这种药，由题意得2500×0.9x=1500，再利用对数的运算性质即可求出x的值.28．某商用无人机公司从2016年1月份开始投产，已知前4个月的产量分别为1万台，1.2万台，1.3万台，1.35万台，由于产品技术先进、质量可靠，前几个月的产品销售情况良好，为了方便营销人员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测后几个月的产量，通过模拟多个函数模型，发现模拟函数y=a⋅bx+c比较接近客观实际，用该函数模型估计第5个月的产量是（单位：万台）（　　）A．1.37B．1.375C．1.38D．1.385【答案】B【知识点】函数模型的选择与应用【解析】【解答】对于函数模型y=a⋅bx+c，将前三个月产量的坐标代入，有ab+c=1ab2+c=1.2ab3+c=1.3，解得a=−0.8，b=0.5，c=1.4，则y=−0.8×0.5x+1.4，当x=4时，y=1.35，与实际产量相符，即由前4个月产量可得函数y=−0.8×0.5x+1.4，所以当x=5时，y=−0.8×0.55+1.4=1.375。故答案为：B【分析】利用函数模型y=a⋅bx+c，将前三个月产量的坐标代入，从而解方程组求出a，b，c的值，进而求出函数的解析式，再利用代入法得出当x=4时，y=1.35，与实际产量相符，从而由前4个月产量可得函数y=−0.8×0.5x+1.4，再利用赋值法估计出第5个月的产量。29．纳皮尔在他的《奇妙的对数表》一书中说过：没有什么比大数的运算更让数学工作者头痛，更阻碍了天文学的发展.许凯和斯蒂菲尔这两个数学家都想到了构造了如下一个双数列模型的方法处理大数运算.012345678910124816326412825651210241112…19202122232425…20484096…52428810485762097152419430483886081677721633554432…如512×1024，我们发现512是9个2相乘，1024是10个2相乘.这两者的积，其实就是2的个数做一个加法.所以只需要计算9+10=19.那么接下来找到19对应的数524288，这就是结果了.若x=log4(20211226×1314520)，则x落在区间（　　）A．(15，16)nB．(22，23)C．(42，44)D．(44，46)【答案】B【知识点】函数模型的选择与应用【解析】【解答】x=log4(20211226×1314520)=12log2(20211226×1314520)，设20211226=2m，1314520=2n，由表格得知：220=1048576，221=2097152，224=16777216，225=33554432，所以24<m<25，20<n<21，所以m+n∈(44，46)，log2(20211226×1314520)∈(44，46)，则x=12log2(20211226×1314520)∈(22，23)。故答案为：B【分析】利用已知条件结合对数的运算法则和表格中的数据以及指数幂的运算法则得出m，n的取值范围，进而得出m+n的取值范围，再结合指数与对数互化公式得出x的取值范围，进而得出x落在的区间。二、多选题30．某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r(r>0)，劳累程度T(0<T<1)，劳动动机b(1<b<5)相关，并建立了数学模型E=10−10T⋅b−0.14r，已知甲、乙为该公司的员工，则下列结论正确的是（　　）A．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高B．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率低C．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱D．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强【答案】A,C【知识点】函数模型的选择与应用【解析】【解答】设甲与乙的工人工作效率E1，E2，工作年限r1，r2，劳累程度T1，T2，劳动动机b1，b2，对于A，b1=b2，r1>r2，T1<T2，1<b<5，0<b2−0.14<1∴b2−0.14r2>b1−0.14r1，T2>T1>0，则E1−E2=10−10T1⋅b1−0.14r1−(10−10T2⋅b2−0.14r2)=10(T2⋅b2−0.14r2−T1⋅b1−0.14r1)>0，∴E1>E2，即甲比乙工作效率高，A符合题意；对于B，T1=T2，r1>r2，b1>b2，∴1>b2−0.14>b1−0.14>0，b2−0.14r2>b1−0.14r2>b1−0.14r1，则E1−E2=10−10T1⋅b1−0.14r1−(10−10T2⋅b2−0.14r2)=10T1(b2−0.14r2−b1−0.14r1)>0，∴E1>E2，即甲比乙工作效率高，B不符合题意：对于C，b1=b2，E1>E2，r1<r2，∴E1−E2=10(T2⋅b2−0.14r2−T1⋅b1−0.14r1)>0，T2⋅b2−0.14r2>T1⋅b1−0.14r1∴T2T1>b1−0.14r1b2−0.14r2=(b1)−0.41(r1−r2)>1，所以T2>T1，即甲比乙劳累程度弱，C符合题意；对于D，r1=r2，E1>E2，b1<b2，0<b1b2<1，∴E1−E2=10(T2⋅b2−0.14r2−T1⋅b1−0.14r1)>0，T2⋅b2−0.14r2>T1⋅b1−0.14r1∴T2T1>b1−0.14r1b2−0.14r2=(b1)−0.41(r1−r2)>1，所以T2>T1，即甲比乙劳累程度弱，D不符合题意．故答案为：AC【分析】根据题意由已知条件结合数学模型，把数值代入计算出结果，然后进行比较，由此对选项逐一判断即可得出答案。三、填空题31．交通信号灯由红灯、绿灯、黄灯组成，红灯表示禁止通行，绿灯表示准许通行，黄灯表示警示，黄灯设置的时长与路口宽度、限定速度、停车距离有关．经过安全数据统计，驾驶员反应距离S1（单位：m）关于车速v（单位：m/s）的函数模型为S1=0.7584v；刹车距离S2（单位：m）关于车速v（单位：m/s）的函数模型为S2=0.072v2，反应距离与刹车距离之和称为停车距离，在某个十字路口标示小汽车最大限速v=50km/h（约14m/s），路口宽度为30m，如果只考虑小车通行安全，黄灯亮的时间是允许最大限速的车辆离停车线距离小于停车距离的汽车通过十字路口，那么信号灯的黄灯至少要亮　　s（保留两位有效数字）．【答案】3.9【知识点】函数模型的选择与应用【解析】【解答】解：依题意当小汽车最大限速v=50km/h（约14m/s）时，反应距离S1=0.7584×14=10.6176m，刹车距离S2=0.072×142=14.112m，所以停车距离为10.6176+14.112=24.7296m，又路口宽度为30m，所以s=24.7296+30=54.7296m，所以时间t=sv=54.729614≈3.9s；故答案为：3.9n【分析】依题意求出反应距离S1，刹车距离S2，即可得到路程S，再根据速度、路程、时间的关系计算可得；32．某超市在“五一”活动期间，推出如下线上购物优惠方案：一次性购物在99元（含99元）以内，不享受优惠；一次性购物在99元（不含99元）以上，299元（含299元）以内，一律享受九折优惠；一次性购物在299元（不含299元）以上，一律享受八折优惠；小敏和小昭在该超市购物，分别挑选了原价为70元和280元的商品，如果两人把商品合并由小昭一次性付款，并把合并支付比他们分别支付节省的钱，按照两人购买商品原价的比例分配，则小敏需要给小昭　　元.【答案】61.6【知识点】函数的应用【解析】【解答】由题可得两人把商品合并由小昭一次性付款实际付款为(70+280)×0.8=280元，他们分别支付应付款为70+280×0.9=322元，故节省322−280=42元，故小敏需要给小昭70−42×7070+280=61.6元.故答案为：61.6.【分析】由题可得由小昭一次性付款实际付款，进而可得合并支付比他们分别支付节省的钱，然后可得小敏需要给小昭的钱数.33．在如今这个5G时代，6G研究己方兴末艾，2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办，会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式C=Wlog2(1+SN)是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道宽带W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．若不改变宽带W，而将信噪比SN从11提升至499，则最大信息传递率C会提升到原来的　　倍．（结果保留一位小数）【答案】2.5【知识点】对数的运算性质；根据实际问题选择函数类型【解析】【解答】设提升前最大信息传递率为C1，提升后最大信息传递率为C2，则由题意可知，C1=Wlog2(1+11)=Wlog212，C2=Wlog2(1+499)=Wlog2500，所以C2C1=Wlog2500Wlog212=log2(102×5)log2(22×3)=log2(22×53)log2(22×3)=log222+log253log222+log23=2+3log252+log23=2+3×2.322+1.58=8.963.58≈2.5倍.所以最大信息传递率C会提升到原来的2.5倍.故答案为：2.5【分析】根据题意结合已知条件由对数的运算性质，整理化简计算出结果即可。34．调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1 kg积分1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100 kg，则额外奖励x分（x为正整数）.月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换.①当x=10时，若某家庭某月产生120 kg生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换　　元；②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%，则x的最大值为　　.【答案】13；36【知识点】根据实际问题选择函数类型【解析】【解答】①若某家庭某月产生120 kg生活垃圾，则该家庭月底的积分为120+10=130分，故该家庭该月积分卡能兑换130×0.1=13元；②设每个家庭每月产生的垃圾为tkg，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为f(t)元.若0≤t<100时，f(t)=0.1t<0.34t×0.4=0.136t恒成立；若t≥100时，f(t)=0.1t+0.1x≤0.34t×0.4，可得x≤(0.36t)min=36.故x的最大值为36.故答案为：①13；②36.【分析】①先计算出该家庭月底的积分，再拿积分乘以0.1，即可求解出答案；②设每个家庭每月产生的垃圾为tkg，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为f(t)元，再分类讨论，即可求解出x的最大值.35．由于疫情防控需要，某地铁站每天都对站内进行消毒工作，设在药物释放过程中，站内空气中的含药量y（毫克/每立方米）与时间x(0<x<13)（小时）成正比.药物释放完毕后，y与x满足关系y=9b−x（b常数，x≥13）.据测定，空气中每立方米的含药量降低到13毫克以下时，乘客方可进站，则地铁站应安排工作人员至少提前　　分钟进行消毒工作.【答案】50n【知识点】函数模型的选择与应用【解析】【解答】由于函数y=9b−x的图象过点(13，1)，则9b−13=1，可得b=13，故当x≥13时，y=913−x，由y=913−x=323−2x<3−1，可得23−2x<−1，解得x>56，此时x>56，故地铁站应安排工作人员至少提前56×60=50分钟进行消毒工作。故答案为：50。【分析】利用函数y=9b−x的图象过点(13，1)结合代入法得出b的值，进而得出当x≥13时的函数的解析式，再利用已知条件结合指数幂的运算法则和指数函数的单调性，可得此时x的取值范围，进而得出地铁站应安排工作人员进行消毒工作至少提前的时间。四、解答题36．某公司经过测算，计划投资A，B两个项目.若投入A项目资金x(万元)，则一年创造的利润为x2(万元)：若投入B项目资金x(万元)，则一年创造的利润为f(x)=10x30−x，0≤x≤2020，x>20（万元）.（1）当投入A，B两个项目的资金相同且B项目比A项目创造的利润高，求投入A项目的资金x(万元)的取值范围；（2）若该公司共有资金30万，全部用于投资A，B两个项目，则该公司一年分别投入A，B两个项目多少万元，创造的利润最大.【答案】（1）当0≤x≤20，x2<10x30−x解得10<x≤20；当x>20，x2<20解得20<x<40，综上x∈(10，40)（2）设对A项目投入资金x万元，则对B项目投入资30−x万元；所以，W(x)=x2+f(30−x)=x2+10(30−x)x，10≤x≤30x2+20，0≤x<10，当10≤x≤30，W(x)=x2+10(30−x)x=x2+300x−10≥2150−10当且仅当x=2150等号成立，且W(10)=105>W(30)=15，故W(x)最大值为105当0≤x<10，W(x)∈[20，30)，综上当10万元投入A项目，20万元投入B项目时获得利润最大【知识点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式【解析】【分析】(1)分0≤x≤20，x>20两种情况，由A项目的利润小于B项目的利润，列出不等式，求解即可得投入A项目的资金x(万元)的取值范围；(2)分10≤x≤30，0≤x<10两种情况，分别求出W(x)的解析式，再利用基本不等式即可得到该公司一年分别投入A，B两个项目哪个创造的利润最大.37．以太阳能和风能为代表的新能源发电具有取之不尽､零碳排放等优点.近年来我国新能源发电的装机容量快速增长，学校新能源发电研究课题组的同学通过查阅相关资料，整理出《2015-2020年全国各类发电装机容量统计表（单位：万万千瓦）》.年份传统能源发电新能源发电总装机容量火力发电水力发电核能发电太阳能发电风能发电201510.063.200.270.431.3115.27201610.603.320.340.761.4716.49201711.103.440.361.301.6417.84201811.443.530.451.741.8419.00201911.903.560.492.102.0520.10202012.453.700.502.532.8222.00请根据上表提供的数据，解决课题小组的两个问题：（1）2015年至2020年期间，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加多少万万千瓦（精确到0.01）？同期新能源发电装机容量的年平均增长率是多少（精确到0.1%）？（2）假设从2021年开始，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加2万万千瓦，新能源发电装机容量的年平均增长率为20%，问从哪一年起，我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的60%？【答案】（1）解：由表中数据知：2015年我国发电总装机容量为15.27万万千瓦，2020年我国发电总装机容量为22.00万万千瓦，所以2015年至2020年期间，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加22−15.275≈1.35万万千瓦；2015年我国新能源发电装机容量1.74万万千瓦，2020年我国新能源发电装机容量5.35万万千瓦，设2015年至2020年期间，我国新能源发电装机容量的年平均增长率为x，则1.74(1+x)5=5.35，即(1+x)5≈3.075，解得x≈0.252，所以2015年至2020年期间，我国新能源发电装机容量的年平均增长率为25.2%；（2）由（1）知：2021年我国发电总装机容量为22+1.35=23.35万万千瓦，新能源发电装机容量为5.35+0.7=6.05万万千瓦，设n年后我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的60%，n所以6.05(1+20%)n23.35+2n=0.6，当n=7时，6.05(1+20%)723.35+2×7≈0.58<0.6，当n=8时，6.05(1+20%)823.35+2×8≈0.661>0.6，所以n≥8，即从2029年起，我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的60%.【知识点】函数模型的选择与应用【解析】【分析】（1）利用已知条件结合作差法和平均数求解方法，进而求出2015年至2020年期间，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加的千瓦数，再利用已知条件结合年平均增长率求解方法和幂型函数求解问题的方法，进而求出同期新能源发电装机容量的年平均增长率。（2）由（1）知2021年我国发电总装机容量为22+1.35=23.35万万千瓦，新能源发电装机容量为5.35+0.7=6.05万万千瓦，设n年后我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的60%，所以6.05(1+20%)n23.35+2n=0.6，再利用分类讨论的方法结合代入法，从而求出n的取值范围，进而得出从2029年起，我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的60%。38．为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用m毫克.已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n次服药后（滤除之前）这种药物在人体内的含量是an毫克，（即a1=m）.（1）已知m=12，求a2､a3；（2）该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求m的最大值.【答案】（1）a2=m+a1⋅20%=12+12×0.2=14.4，a3=m+a2⋅20%=12+14.4×0.2=14.88；（2）依题意，an+1=m+15an−1，所以an+1−54m=15(an−54m)，a1−54m=−14m，所以{an−54m}是等比数列，公比为15，所以an−54m=−14m×(15)n−1，an=54m−14×5n−1m，54m−14×5n−1m≤25，m≤2554−14×5n−1，数列{54−14×5n−1}是递增数列，且54−14×5n−1<54，所以2554−14×5n−1>2554=20，即m≤20，所以m的最大值是20毫克．【知识点】根据实际问题选择函数类型【解析】【分析】（1）由a2=m+a1⋅20%，a3=m+a2⋅20%，计算可得a2､a3的值；（2）由每次服药，药物在人体内的含量为本次服药量加上前次含量的20%可得递推关系式，变形后构造一个等比数列，求得通项公式后，由数列不等式恒成立及数列的单调性即可求出m的最大值.39．图1是某会展中心航拍平面图，由展览场馆､通道等组成，可以假设抽象成图2，图2中的大正方形AA1A2A3是由四个相等的小正方形（如ABCD）和宽度相等的矩形通道组成.展览馆可以根据实际需要进行重新布局成展览区域和休闲区域，展览区域由四部分组成，每部分是八边形，且它们互相全等.图2中的八边形EFTSHQMG是小正方形ABCD中的展览区域，小正方形ABCD中的四个全等的直角三角形是休闲区域，四个八边形是整个的展览区域，16个全等的直角三角形是整个的休闲区域.设ABCD的边长为300米，△AEF的周长为180米.（1）设AE=x，求△AEF的面积y关于x的函数关系式；（2）问AE取多少时，使得整个的休闲区域面积最大.(2≈1.414，长度精确到1米，利用精确后的长度计算面积，面积精确到1平方米)【答案】（1）依题意，在Rt△AEF中，EF=x2+AF2，则有x+AF+x2+AF2=180，AF=180(90−x)180−x，0<x<90，则△AEF的面积y=12AE⋅AF=90(90−x)x180−x，所以△AEF的面积y关于x的函数关系式是：y=90(90−x)x180−x(0<x<90).（2）由(1)知，y=90(90−x)x180−x，0<x<90，令180−x=t∈(90，180)，y=90(180−t)(t−90)t=90[270−(t+16200t)]≤90(270−2t⋅16200t)=8100(3−22)，当且仅当t=16200t，即t=902时取“=”，整个休闲区域是16个与Rt△AEF全等的三角形组成，因此，整个休闲区域面积最大，当且仅当△AEF的面积y最大，当t=902，即x=180−902≈53米，整个休闲区域面积最大为y=90×(90−53)×53180−53×16≈22235平方米，所以当AE取53米时，整个休闲区域面积最大为22235平方米.【知识点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式【解析】【分析】（1）根据已知条件结合勾股定理用x表示AF的长，△AEF的面积y=12AE⋅AF，即可得出△AEF的面积y关于x的函数关系式；n（2）由（1）的函数关系式利用换元法可得y=90(180−t)(t−90)t=90[270−(t+16200t)]，利用基本不等式即可求出y的最大值。