4.1导数的概念及其运算——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）及答案
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2023-10-02 12:30:01
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4.1导数的概念及其运算——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）一、单选题1．已知抛物线 ： ，则使得 经过点 过点，点 ， 和抛物线 在 处的切线斜率相等，且 和坐标轴相切的点 有（）A．1个B．2个C．3个D．4个 2．曲线 ݈ 在 点处的切线的倾斜角为 ，则 香䁫 的值为（） A．B． C．D． 3．曲线 在点 过点， 处的切线与直线 垂直，则 的值为（）A．-1B．0C．1D．2 4．已知函数 过 cos ， 过 ， ）在 处的切线斜率为，则sin cos （） A． B．C． D． 5．实数 点， ， 点， 满足： ln 点 点 ， ，则过 点 过 点 的最小点值为（）A．0B． C． D．8 6．已知函数 过 在过 ， 上有两个零点，则m的取值范围是（） A．过 ， B．过 ， C．过 ， D．过 ， 7．若存在lim 过 ， 过 ， ，则称lim 过 ， 过 ， 为二元函数 过 ， 在点过 ， 处对 的偏导数，记为 过 ， ；若存在lim 过 ， 过 ， ，则称 过 ， 过 ， 为二元函数 过 ， 在点过 ， 处对 的偏导数，记为 过 ， ，lim 已知二元函数 过 ， 过 䁖 ， 䁖 ，则下列选项中错误的是（）A． 过点， B． 过点， 点 点C． 过 ，݈ 过 ，݈ 的最小值为 D． 过 ， 的最小值为 8．定义满足方程 过 过 点的解 叫做函数 过 的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是n（） 点A． 过 B． 过 C． 过 ln D． 过 sin 9．若直线 点 点与直线 过 点 是曲线 ln 的两条切线，也是曲线 e 的两条切线，则 点 点 的值为（）点A．e 点B．0C．-1D． 点e10．过平面内一点 作曲线 ݈ 两条互相垂直的切线 点、 ，切点为 点、 （ 点、 不重合），设直线 点、 分别与 轴交于点 、 ，则下列结论正确的个数是（）① 点、 两点的横坐标之积为定值；②直线 点 的斜率为定值；③线段 的长度为定值；④三角形 面积的取值范围为过 ，点 ．A．1B．2C．3D．4 11．已知函数 过 cos过 点过 䁖 ， ，在 处的切线斜率为 ，若 过 在过 ， 上只有一个零点 ，则 的最大值为（） 点点 A．B．C．2D． 12．已知函数 过 是定义在R上的奇函数，且 过 䁖 过点 ，则函数 过 的图象在点过 ， 过 处的切线的斜率为（）A．-21B．-27C．-24D．-2513．若曲线 ln 点在点（1，2）处的切线与直线䁖 点 平行，则实数a的值为（）A．－4B．－3C．4D．314．曲线 在点过点， 处的切线方程为（）A． B． C． D． 15．一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式䁫 过 ，则当 点时，该质点的瞬时速度为（）A．5米/秒B．8米/秒C．14米/秒D．16米/秒 16．若点P是曲线 ln 上任意一点，则点P到直线 的距离的最小值为（） A．B．C． D． n点17．设函数 过 在 上存在导函数 '过 ， 过 的图象在点 过点， 过点 处的切线方程为 ， 那么 过点 '过点 （）A．1B．2C．3D．4二、多选题18．吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r（V）， 过쳌 为r（V）的导函数．已知r（V）在 쳌 上的图象如图所示，若 쳌点 쳌 ，则下列结论正确的是（） 过点 过 过 过点 A． 点 点B． '过点 䁖 '过 C． 过쳌点 쳌 过쳌点 过쳌 过쳌D．存在쳌 过쳌，쳌 ，使得 过쳌 过쳌点 点 쳌 쳌点19．已知䁖＞ ， ＞ ，直线 䁖与曲线 点 点相切，则下列不等式成立的是（）A．䁖 点B． 点 D． 䁖 C．䁖 䁖 三、填空题cos 20．函数 过 的图象在 处切线的倾斜角为． 21．已知函数 过 过 ，则 过 .22．已知 过 点（ 为自然对数的底数）， 过 ln 点，请写出 过 与 过 的一条公切线的方程．23．已知函数 过 䁖 ，写出一个同时满足下列两个条件的 过 ：.①在[点， 上单调递减；②曲线 过 过 点 存在斜率为-1的切线.24．某地在20年间经济高质量增长，GDP的值 （单位，亿元）与时间 （单位：年）之间的关系为 过 过点 点 ͳ ，其中 为 时的 值.假定 ，那么在 点 时，GDP增长的速度大约是（.单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：点.点点 . ，当 取很小的正数时，ln过点 25．已知直线l是曲线 点与 ln 点的公共切线，则l的方程为.26．已知函数 过 ln ，则 过 在 点处切线斜率为．过 过 过 点 过 点 过 27．若曲线 ln过 点 在点过点， ln 处的切线与直线 ln 䁖 平行，则䁖 .n28．过点 过 点， 引曲线 ： 䁖 䁖的两条切线，这两条切线与 轴分别交于 ， 两点，若 ，则䁖 ． 29．已知倾斜角为 的直线 与曲线 ݈ 点相切，则直线 的方程是. 30．已知函数 过 （e为自然对数的底数），过点过 ， 作曲线 过 的切线有且只有两条，则实 数 .31．已知函数 过 过点 ，则 过 ．䁖32．若曲线 过 点过䁖 在点过 点， 过 点 处的切线斜率为2，则䁖 ． 四、解答题 33．定义在过 ， 上的函数 过 过 䁫ݔ݈ . （1）当 时，求曲线 过 在点过， 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积； （2）将 过 的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列 ݈ ，若 过 点 过 ，求 的值.点 34．已知函数 过 䁖cos sin ． （1）当䁖 点时，求曲线 过 在点过 ， 过 处的切线方程； （2）若函数 过 在[ ， 上单调递减，求a的取值范围． 35．已知函数 过 e ݈ 过 ．当m＝1时，曲线 过 在点过 ， 过 处的切线与直线x－y＋1＝0垂直．（1）若 过 的最小值是1，求m的值；（2）若 过 点， 过 点 ， 过 过 过 点 是函数 过 图象上任意两点，设直线AB的斜率为k．证明：方程 过 在过 点， 上有唯一实数根．36．已知函数 过 过䁖 点（1）若函数 过 的图象在区间[0，1]上存在斜率为零的切线，求实数a的取值范围；（2）当䁖 点时，判断函数 过 零点的个数，并说明理由.ln 37．已知函数 过 ． 点点（1）求曲线 过 在点过， 过 处的切线方程； （2）设 过 过 有两个不同的零点 点， ，求证： 点 䁖 ．n 䁖38．已知函数 过 ． 点（1）若曲线 过 在点过 ， 过 处的切线斜率为 点，求䁖的值；（2）若 过 在过点， 上有最大值，求䁖的取值范围. 䁖39．已知函数 过 过䁖 点 ln 䁖 （1）若䁖 点，求曲线 过 在 点处的切线方程；（2）若 过 在（1， ）上恒成立，求a的值.答案解析部分1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】D5．【答案】D6．【答案】D7．【答案】B8．【答案】D9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】C12．【答案】A13．【答案】B14．【答案】B15．【答案】C16．【答案】A17．【答案】C18．【答案】B,D19．【答案】A,C 20．【答案】 21．【答案】-222．【答案】y=rx-1或y=xn23．【答案】 过 （答案不唯一）24．【答案】0.5225．【答案】y=ex-1或y=x26．【答案】2 27．【答案】 28．【答案】 29．【答案】x-y-2+ln2=0 30．【答案】 31．【答案】232．【答案】-233．【答案】（1）解：当 䁫ݔ݈ ， 过 䁫ݔ݈ 过 香䁫 ，故 点时， 过 过 过 䁫ݔ݈ . 点曲线 过 在点过， 处的切线的斜率为 过 ， 点 曲线 过 在点过， 处的切线方程为 过 ， 令 ， .所以切线与 轴的交点过 ， .点 点 点 此时所求三角形的面积为 . 点 点 （2）解： 过 䁫ݔ݈ 过 香䁫 当 时， 过 香䁫 过 䁖݈ . 由函数 䁖݈ 在区间过 ， 上递增，且值域为 ， 故存在唯一 过 ， ，使得 䁖݈ . 此时当 时， 过 ， 过 单调递减； 当 时， 过 䁖 ， 过 单调递增，因此 点 . 同理，存在唯一 ' 过 ， ，使得 䁖݈ ' ' . ' 此时当 时， 过 䁖 ， 过 单调递增；当 ' 时， '. 过 ， 过 单调递减，因此 䁫ݔ݈ 点点由 过 点 ， 点 䁖݈ 点， 过 点 香䁫 香䁫 点 香䁫 .点点n䁫ݔ݈ 点同理： 过 香䁫 . 香䁫 香䁫 点由 过 点 过 ，整理得：过 香䁫 点 香䁫 过点 香䁫 .点 香䁫 又 点 ，故 香䁫 点 香䁫 点，则有 香䁫 点 香䁫 香䁫过 由 ，故 点 或 点 过 .又 点 䁖݈ 点 䁖݈ ，当 点 时，不满足，舍去.所以 过 ，即 ，则 点 䁖݈ 点 䁖݈ .点 点 综上所述， . 点 34．【答案】（1）解：当䁖 点时， 过 cos sin 点 过 cos sin 点，所以切点为过 ， 点 ， 过 点 sin cos ，∴ 过 点 sin cos ，所以曲线 过 在点过 ， 过 处的切线的斜率为 过 ，所以曲线 过 在点过 ， 点 处的切线的斜率切线方程为 过 点 过 ，即 点 .点 （2）解：由 过 䁖cos sin ，得 过 点 䁖sin cos 因为函数 过 在[ ， 上单调递减，可得 过 对任意 [ ， 恒成立， 设 过 过 点 䁖sin cos ，则 过 点 䁖cos sin .因为 过 点 䁖sin cos ， 所以使 过 对任意 [ ， 恒成立， 则至少满足 过 ，即点 䁖 ，解得䁖 点.下证明当䁖 点时， 过 恒成立， 因为 [ ， ，所以sin ， 因为䁖 点，所以 过 点 sin cos . 记 过 点 sin cos ，则 过 点 cos sin 点 sin过 . 当 过 ， 时， 过 ； n 当 过， 时， 过 䁖 . 所以函数 过 在[ ， 上单调递减，在过， 上单调递增. 因为 过 ， 过 点 ， 所以 过 在[ ， 上的最大值为 过 . 即 过 过 点 sin cos 在[ ， 上恒成立. 所以a的取值范围为[点， .35．【答案】（1）解：由题知， 过 的定义域为R， 过 e ݈，当m＝1时， 过 e ݈，∵当m＝1时，曲线 过 在点过 ， 过 处的切线与直线x－y＋1＝0垂直∴n＋1＝－1，∴n＝－2，∴ 过 e ， 过 e 当 时， 过 ， 过 在过 ， 上单调递减又 过 点，∴当 䁖 时， 过 点，不合题意． 点 当 䁖 时，令 过 ，解得 ln， 当 䁖点 时， 点 时， ln过 䁖 ， 过 单调递增；当 ln过 ， 过 单调递减， 点 ∴ 过 min 过 ln 点点 又 过 点，当 时， 过 䁖点，∴ln ，∴m＝2 过 过 点 e e点（2）证明： 点 点 令 过 过 e e e点，则 过 e 䁖 点∴ 过 单调递增 又 过 e 点e e点 e点[e 过 点 过 点 ，点 点 点 点 过 e e e点 e [e 过 点 过 点 ， 点 点 点令 过 e 点，则 过 e 点令 过 ，解得x＝0，∴当 䁖 时， 过 䁖 ， 过 单调递增，当 时， 过 ， 过 单调递减，∴ 过 min 过 ，∴当 时，e 点䁖 n∵ ， 点 ∴ 过 点 ， 过 点 ∴e 过 点 过 点 点䁖 ，e 过 点 过 点 点䁖 e点e 又䁖 ，䁖 点 点∴ 过 点 ， 过 䁖 ∴ 过 在过 点， 上有唯一零点∴方程 过 在过 点， 上有唯一实数根．36．【答案】（1）解：依题意，方程 过 过䁖 点 点 在区间[0，1]上有解，即䁖 点 点在区间[0，1]上有解，记 过 点 ，则函数 过 区间[0，1]上单调增，其值域为[ ， 点故实数a的取值范围是[ ， . 点（2）解： 过 过 点 点令 过 点 点 点 点在过 ，点 上单调递增，在（1，∞）上单调递增，点点 过 <0， 过 䁖 过点.点 点.点 点 ， 过 䁖 ，根据零点存在性定理可知， 过 在过 ，点 ，过点 上各有一个零点，即原函数有2个零点.37．【答案】（1）解：由题意， 过 点 ln ，则 点 ， 过点过 ， 点点 点所以函数 过 在点过， 过 处的切线方程为 过 过 ， 即 .（2）证明：设 点䁖 䁖 ，由题意， 过 点 过 ，所以ln 点 点 ，ln ，可得ln 点 ln 过 点 ，ln 点 ln 过 点 ，要证明 点 䁖 ，只需证ln 点 ln 䁖 ，即 过 点 䁖 ，ln 点 ln ln 点 ln 因为 ，所以可转化为证明䁖， 点 点 点 点 过 点 点 ，则 䁖点，即证ln 䁖 过 点 即ln 䁖 ，令 ， 点 点n 过 点 点 过 点 令 过 ln 过 䁖点 ，则 过 䁖 ， 点 过 点 过 点 过点 点 所以函数 过 在过点， 上是增函数，所以 过 䁖ln点 ，点 点 过 点 即ln 䁖得证，所以 点 䁖 . 点 䁖38．【答案】（1）解：函数 过 的定义域为 点 ， 点 点 过 䁖 䁖 点 过 ，过 点 过 点 䁖 由已知可得 过 点，解得䁖 点. 䁖 点 （2）解：因为 过 ，令 过 䁖 点过 䁖点 .过 点 ①当䁖 时，对任意的 䁖点， 过 䁖 点 恒成立，则 过 ，此时函数 过 在过点， 上单调递减，没有最大值；②当 䁖 点时， 过 䁖 点在过点， 上单调递减，则 过 过点 ，则 过 ，此时函数 过 在过点， 上单调递减，没有最大值；③当䁖䁖点时，方程 䁖 点 的两根分别为 䁖 䁖 点， 䁖 䁖 点，点 由䁖䁖点可知 点 点 䁖 ，列表如下： 过点，䁖 䁖 点 䁖 䁖 点过䁖 䁖 点， 过 0 过 增极大值减所以函数 过 在 䁖 䁖 点处取得最大值，综上所述，实数䁖的取值范围是过点， .点 点 39．【答案】（1）解：因为 过 ݈ ，所以 过 点 ， 过点 ， 又 过点 ，所以曲线 过 在 点处的切线方程为 （2）解： 过 定义域为过 ， ， 点 ln 䁖 䁖 䁖 点䁖过䁖 点 过 䁖 因为 过 过䁖，所以 过 䁖 若䁖 ，则 过 䁖 恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增.故当 过点， 时， 过 䁖 过点 ，不合题意，舍去；点点 若 点 䁖 ，则 䁖 点 ，所以当 过 ，， 䁖 过 ，， 时， 过 ；当 过 䁖䁖n点 点䁖， 时： 过 䁖 ，则f（x）的单调递减区间为过 ， 䁖 和过 ， ，单调递增区间为过 䁖䁖点䁖，， 䁖点故当 过点， 时， 过 䁖 过点 ，不合题意；䁖 过 点 若䁖 点，则 过 ，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减. 故当 过点， 时， 过 过点 ，符合题意；点点 点若䁖 点，则 点 䁖，所以当 过 ， 过 䁖， 时， 过 ：当 过 ，， 䁖䁖䁖 点点䁖 时， 过 䁖 ，则f（x）的单调递减区间为过 ， 和过 䁖， ，单调递增区间为过 ， 䁖 䁖䁖故当 过点， 䁖 ， 过 䁖 过点 ，不合题意综上所述：䁖 点
4.1导数的概念及其运算——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）及答案
2023-02-25
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