4.1导数的概念及其运算——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）解析版
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2023-10-02 12:36:02
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sin 4.1导数的概念及其运算——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）所以䁪 .因为sin cos 点，tan ， cos 一、单选题 点则解得sin ，cos ，点䁪点䁪1．已知抛物线 ： ，则使得 经过点 过点，点 ， 和抛物线 在 处的切线斜率相等，且 和 点 故cos cos sin 过 过 .点䁪点䁪쳌坐标轴相切的点 有（）故答案为：B.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D 【知识点】导数的几何意义；直线与圆的位置关系【分析】求得 ln 的导数，可得切线的斜率，由两角的余弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式和同角【解析】【解答】 ， ，所以抛物线在点 处切线的斜率 点 的基本关系式，计算可得所求值.点点点 3．曲线 在点 过点，䁪 处的切线与直线 䁪垂直，则 的值为（）所以直线MP斜率为 ，直线MP方程为 点 过 点 即 A．-1B．0C．1D．2点 设圆心 过 ， 【答案】C当 与 轴相切时，有过 点 过 点 点 点 【知识点】导数的几何意义 整理得： 点 䁪， 쳌䁟䁪【解析】【解答】设 过 ，则 过 ，直线 䁪的斜率为点，故该方程的解有2个，即与 轴相切的点 有2个 过点 点 由题意可得，解得. 过点 点 䁪 点当 与 轴相切时，有过 点 过 点 点 故答案为：C. 整理得： 点䁪 쳌 䁪， 过 点䁪 点 쳌 䁟䁪䁟䁪故该方程的解有2个，即与 轴相切的点 有2个【分析】由已知条件列出方程组，求解方程组，即可解得c的值.综上，符合这样条件的点 有4个4．已知函数 过 cos ， 过䁪， ）在 处的切线斜率为䁟，则sin cos （）䁪쳌䁪䁪故答案为：D 쳌 쳌A． B．C． D．쳌쳌쳌쳌【答案】D点 【分析】由导数的几何意义易求直线MP方程，设圆心 过 ， 当 与 轴相切时，通过直线与圆 【知识点】导数的几何意义位置关系可得 点 䁪，即可求a，同理通过 与 轴相切时，求a，即可求解。 䁟 【解析】【解答】由题意得 过 sin ， 过䁪， ），则 sin 䁪 ，sin 䁪 쳌쳌2．曲线 ݈ 在 点处的切线的倾斜角为 ，则 香䁫 的值为（） 过sin cos 点 过 ，而 䁪 过䁪， ，故sin 䁟䁪，cos 䁪，䁪䁪쳌쳌䁪䁪 A．B． C．D． 쳌쳌쳌쳌 쳌sin 䁪 cos 䁪 쳌，【答案】B故答案为：D【知识点】导数的几何意义；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系 点 【解析】【解答】根据已知条件， 过 ，因为曲线 ln 在 点处的切线的倾斜角为 ， 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在 䁪处的导数值，由已知可得sin 䁪 ，求出过sin 䁪 cos 䁪 쳌所以tan 过点 点 ，的值，再由 䁪 过䁪， 可求出答案.n5．实数 点， ， 点， 满足： ln 点 点 䁪， 䁪，则过 点 过 点 的最小值为（）故答案为：D.点A．0B． C． D．8【答案】D【分析】原问题等价于函数 过 与函数 过 过 点 有两个不同的交点，求出两函数相切时的切线 【知识点】导数的几何意义；直线的一般式方程与直线的平行关系；点到直线的距离公式斜率，再结合函数特征，求出m的取值范围即可.【解析】【解答】由 ln 点 点 䁪，则 点 ln 点，又 䁪，点点 过 䁪 ， 䁪 过 䁪， 䁪 过 䁪 ， 䁪 过 䁪， 䁪 7．若存在lim，则称lim为二元函数 过 ， 在点过 䁪，过 点 过 点 的最小值转化为： 䁪 䁪 处对 的偏导数，记为 过 ， ；若存在lim 过 䁪， 䁪 过 䁪， 䁪 ，则称lim 过 䁪， 䁪 过 䁪， 䁪 ln 过 䁟䁪 上的点与 䁪上的点的距离的平方的最小值，䁪 䁪䁪 䁪 䁪由 ln ，得： 点，为二元函数 过 ， 在点过 过 ， ，已知二元函数 过 ， 䁪， 䁪 处对 的偏导数，记为 䁪䁪 与 䁪平行的直线的斜率为1， 过 䁟䁪， 䁟䁪 ，则下列选项中错误的是（）点点∴ 点，解得 点或 （舍 ，可得切点为过点，点 ， A． 过点， 切点到直线 䁪之间的距离的平方，即为过 点 过 点 的最小值，B． 过点， 点䁪 䁟。 过 点 过 点 的最小值为：过点 点 点C． 过 ，݈ 过 ，݈ 的最小值为 故答案为：D. D． 过 ， 的最小值为 【分析】由 ln 点 点 䁪，则 点 ln 点，再利用 䁪，过 过 的最小值转【答案】B点点点 点 化为： ln 过 䁟䁪 上的点与 䁪上的点的距离的平方的最小值，由 ln ，再利用导【知识点】导数的运算数的几何意义和两直线平行斜率相等的判断方法，进而得出与 䁪平行的直线的斜率，再利用已知条【解析】【解答】因为 过 ， （ 䁟䁪， 䁟䁪），件得出切点的横坐标，再结合代入法得出切点的纵坐标，进而得出切点的坐标，再利用点到直线的距离公式得所以 过 ， lim 过 䁪 ， 䁪 过 䁪， 䁪 ，则 过点， ，出切点到直线 䁪之间的距离的平方，进而得出过 的最小值。 䁪䁪 䁪 䁪䁪 点 过 点 又 过 ， lim 过 䁪， 䁪 过 䁪， 䁪 ，所以 过点， 쳌，6．已知函数 过 在过䁪， 上有两个零点，则m的取值范围是（） 䁪䁪 䁪 䁪䁪 因为 过 ，݈ 过 ，݈ ݈ ݈ ݈ ݈ 过݈ 点 点，A．过䁪， B．过䁪， C．过 ， D．过 ， 点 点所以当݈ 时， 过 ，݈ 过 ，݈ 取得最小值，且最小值为 ，【答案】D 【知识点】导数的运算 过 ， 过 ， 点【解析】【解答】解：函数 过 在过䁪， 上有两个零点，等价于 过 与 过 过 令 过 （ 䁟䁪）， 过 ，有两个不同的交点， 过 恒过点过点 '过 过 点 ，所以当䁪 时， 过 䁪，当 䁟 时， 过 䁟䁪，，䁪 ，设 过 与 过 相切时切点为过 ， ，因为 过 点 ，则切线方程为 点点 切线斜率为 过 点 过 ，当切线经过点过 ，䁪 时，解得 点或 故 过 min 过 ， （舍），此时切线斜率为 ，由函数图象特征可知：函数 过 在过䁪， 上有两个零点，则从而当 时， 过 ， 取得最小值，且最小值为 . 实数 的取值范围是过 ， .故答案为：B.n【解析】【解答】由 e 和 ln 互为反函数可知，【分析】根据条件求出 '过 䁪， 䁪 、 '过 䁪， 䁪 ，然后可逐一判断ABC， 过 ， 过 ，两条公切线 点 点和 也互为反函数， 点 点点 点 点然后利用导数求出右边的最小值即可.即 满足 ， ，即 点 点， ，点点点点点8．定义满足方程 过 过 点的解 䁪叫做函数 过 的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（）设直线 点 点与 e 和 ln 分别切于点过 点，e 点 和过 ，ln ， 点A． 过 B． 过 点 可得切线方程为 e 点 e 点过 点 和 ln 过 ， C． 过 ln D． 过 sin 整理得： e 点 e 点 e 点和 点 点 ln e 点 点， e 点过点 点 ln ， ，则点 点点 【答案】D 点点点【知识点】导数的运算由e点 ，得 点 ln ln ，且 点 过点 点 点 ln ， 【解析】【解答】对于A选项， 过 ，则 过 ，由 过 过 点，点过点 点 点 点则 点 点点，所以 点 ，点即 䁪， 点 点 䁟䁪，因此， 过 存在“自足点”，A满足条件； 点点点 点所以 点 点 点 点 点 点过点 点 点过点 点 过 点 点 过点 点 点 点 点点点点点对于B选项， 过 ，则 过 点 ，由 过 过 点 点， 点 过 点 点 过点 点 点， 点 可得 点 䁪，其中 䁪，令 过 点，则 过 䁟 䁪， 过点 点䁟䁪，故答案为：C点点所以，函数 过 在过，点 上存在零点，即函数 过 存在“自足点”，B选项满足条件； 【分析】利用 e 和 ln 互为反函数推得两条公切线 点 点和 也互为反函数，结合 点对于C选项， 过 ln ，则 过 ，其中 䁟䁪， 点点 点导数的几何意义表示出 点 e点 ， 点 e 点过点 点 点 ln ，进而化简可得 ，代入 点 点 点因为 过点 过点 点，故函数 过 ln 存在“自足点”，C选项满足条件；对于D选项， 过 sin ，则 点 化简可得答案.过 cos ，由 过 sin cos 䁪，10．过平面内一点 作曲线 ݈ 两条互相垂直的切线 点、 ，切点为 点、 （ 点、 不重合），设直线 点、过 sin cos 点，可得 分别与 轴交于点 、 ，则下列结论正确的个数是（）因为sin 点，cos 点， ① 点、 两点的横坐标之积为定值；②直线 点 的斜率为定值；③线段 的长度为定值；④三角形 所以， sin cos 过点 sin 过点 cos 䁟䁪，所以，方程 sin cos 䁪无实解，D选项不满足条件.面积的取值范围为过䁪，点 ．故答案为：D.A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】求出每个选项中函数 '过 ，判断每个选项中方程 过 过 点是否有解，由此可得合适的选项.【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性9．若直线 点 点与直线 过 点 是曲线 ln 的两条切线，也是曲线 e 的两条切线， ln ，䁪 点【解析】【解答】因为 ݈ ，则 点 点 的值为（）ln ， 点A．e 点B．0C．-1D．点所以，当䁪 点时， 点；当 点时， 点， 点 e 【答案】C不妨设点 点、 的横坐标分别为 点、 ，且 点 ，【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程点点点䁟䁪，不合乎题意；若䁪 点 点时，直线 点、 的斜率分别为 点 、 ，此时 点 点 点 n点点点 点点 若 䁟 点 点时，则直线 点、 的斜率分别为 点 、 ，此时 点 䁟䁪，不合乎题意.A．B．C．2D．点 点 点点【答案】C所以，䁪 点 点 或䁪 点 点 ，则 点 ， ，点 【知识点】导数的几何意义；正弦函数的零点与最值点由题意可得 点 点，可得 点 点，点 【解析】【解答】依题意， 过 sin过 ，则 过䁪 sin ，即sin ，而䁪 ， 若 点 点，则 点；若 点，则 点 点，不合乎题意，所以，䁪 点 点 ，①对； 解得 ，对于②，易知点 点过 点， ln 点 、 过 ，ln ， 点 ln ln 点ln过 点 因此， 过 cos过 点，由 过 䁪得：cos过 ，又 过䁪， ，有 过 ， ，所以，直线 点 的斜率为 点 䁪，②对； 点 点쳌 点因 过 在过䁪， 上只有一个零点 䁪，于是得 ，解得 ，对于③，直线 点的方程为 ln 点 过 点 ，令 䁪可得 点 ln 点，即点 过䁪，点 ln 点 ， 点所以 的最大值为2.点直线 的方程为 ln 过 ，令 䁪可得 ln 点 ln 点 点，即点 过䁪， ln 点 点 ， 故答案为：C所以， 过点 ln 点 过 点 ln 点 ，③对；点 点 ln 点 点 点【分析】求出函数f(x)的导数，利用导数的几何意义求出φ，再由零点条件列出不等式，求解可得答案.对于④，联立点可得 点 点，点 ln 点点12．已知函数 过 是定义在R上的奇函数，且 过 过点 ，则函数 过 的图象在点过 ， 过 令 过 ，其中 过䁪，点 ，则 过 过点 䁟䁪， 处的切线的斜率为（） 点过 点 A．-21B．-27C．-24D．-25所以，函数 过 在过䁪，点 上单调递增，则当 过䁪，点 时， 过 过䁪，点 ，【答案】A点 点所以， 点 过䁪，点 ，④错.【知识点】函数奇偶性的性质；导数的几何意义点故答案为：C.【解析】【解答】 过 是奇函数， 过 过点 过 过点 恒成立，所以 䁪，【分析】设点 点、 的横坐标分别为 点、 ，且 点 ，讨论（1）䁪 点 点时，由导数的几何意义可 过 过点 ， 过 过点 ，得 点点点䁟䁪，不合乎题意；（2） 䁟 点时，由导数的几何意义可得 点 点所以 过点 过点 ， 过点 ，即 过 ，点 、 ，此时 点 点 、点 点 点 过 过 点．点点点 ，此时 点 䁟䁪，不合乎题意.进而判断得到䁪 点 点 或䁪 点 点 ，进而有 点 ， 点 点故答案为：A．点 ， 由两切线垂直即可判断①；由①的结论即可判断②；对于③，先求得A，B两点坐标，由两点距离公【分析】利用函数的奇偶性求解函数的解析式，求出函数的导数，然后求解切线的斜率.点13．若曲线 ln 点在点（1，2）处的切线与直线 点 䁪平行，则实数a的值为（）式即可判断；对于④，联立两切线方程求得P点横坐标，通过求导确定范围，再结合 即A．－4B．－3C．4D．3可判断。【答案】B 11．已知函数 过 cos过 点过 䁟䁪，䁪 ，在 䁪处的切线斜率为 ，若 过 在过䁪， 【知识点】导数的几何意义；直线的一般式方程与直线的平行关系上只有一个零点 䁪，则 的最大值为（）【解析】【解答】 '点' ， 点 ，n 所以 ， 。由 ln ，则 ' ， 故答案为：B令 ' 点， 解得 点或 （舍去）， 【分析】利用已知条件结合导数的几何意义和两直线平行斜率相等的性质，进而得出实数a的值。 故点P的坐标为过点， ，14．曲线 在点过点，䁪 处的切线方程为（） 点 A． B． 쳌 쳌C． D． 故点P到直线 的最小值为： 。 【答案】B故答案为：A.【知识点】导数的几何意义【解析】【解答】因为 쳌 点，所以曲线 在点过点，䁪 处的切线的斜率为 点 쳌，当x=1【分析】设平行于直线 且与曲线 ln 相切的切线对应切点为 过 ， ，再利用导数的 时，y=0，切点坐标为（1，0）.故所求切线方程为 쳌 쳌.几何意义和两直线平行斜率相等的性质，得出切点的横坐标，再结合代入法得出切点的纵坐标，从而得出切点故答案为：B的坐标，再结合几何法和点到直线的距离公式得出点P到直线 的最小值。点17．设函数 过 在 上存在导函数 '过 ， 过 的图象在点 过点， 过点 处的切线方程为 ，那么 过点 【分析】由导数的几何意义即可求解。 '过点 （）15．一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式䁫 过 ，则当 点A．1B．2C．3D．4时，该质点的瞬时速度为（）【答案】CA．5米/秒B．8米/秒C．14米/秒D．16米/秒【知识点】导数的几何意义【答案】C点쳌 点【解析】【解答】解：由题得 过点 点 ， 过点 ， 【知识点】导数的几何意义쳌点【解析】【解答】解：由题得䁫 过 点 过 ，所以 过点 '过点 .当 点时，䁫 点 ，故答案为：C故当 点时，该质点的瞬时速度为14米/秒．故答案为：C【分析】由切点在切线上可得f(1)，由导数的几何意义可得 '过点 ，即可求解。二、多选题18．吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为（rV）， 过쳌 为（rV）的导函数．已知（rV）在䁪 쳌 【分析】由导数的几何意义即可求解。上的图象如图所示，若䁪 쳌点 쳌 ，则下列结论正确的是（） 16．若点P是曲线 ln 上任意一点，则点P到直线 的距离的最小值为（） 过点 过䁪 过 过点 A． 点 䁪 点 A．B．C． D．쳌 B． '过点 䁟 '过 【答案】AC． 过쳌点 쳌 过쳌点 过쳌 【知识点】导数的几何意义；两条直线平行与倾斜角、斜率的关系；点到直线的距离公式 过쳌 D．存在쳌 过쳌，쳌 ，使得 过쳌䁪 过쳌点 【解析】【解答】设平行于直线 且与曲线 䁪点 쳌 ln 相切的切线对应切点为 过 ， ， 쳌点 n【答案】B,D ，即 时取“=”，由 点 点 点当且仅当 得 ， ，所以当 ， 时，过 max 【知识点】导数的几何意义 ，C符合题意； 过点 过䁪 过 过点 【解析】【解答】解：A：设tan ，tan ，由图得 䁟 ，所以tan 䁟tan ，所以点 䁪 点点点 对于D，由 点， ＞䁪， ＞䁪得，䁪 ， 点 过，点 ，而函数 在R上单调递增， 过点 过䁪 过 过点 䁟，所以该选项错误；点 䁪 点因此， ，D不正确.B：由图得图象上点的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义得 过点 䁟 过 ，所以该选项正确；故答案为：ACC：设쳌쳌点 쳌 过쳌点 过쳌 过 ，因为 过 过䁪 䁟 过 过 ，所以点 䁪，쳌 ， 过 过 ， 过 ，所以该选项错误；【分析】利用导数的几何意义，求出a，b的关系，再结合均值不等式逐项分析、计算并判断作答. 过 䁟 三、填空题 过쳌D： 过쳌点 表示 过쳌， 过쳌 ， 过쳌， 过쳌 两点之间的斜率， 过쳌 表示 过쳌， 过쳌 处切线的斜率，쳌点点 䁪䁪䁪20．函数 过 cos 的图象在 䁪处切线的倾斜角为． 쳌点 由于쳌䁪 过쳌点，쳌 ，所以可以平移直线 使之和曲线相切，切点就是点 ，所以该选项正确. 【答案】 故答案为：BD【知识点】导数的几何意义；直线的倾斜角【解析】【解答】由 过 cos 求导得： sin cos ，则 过 过䁪 点， 过点 过䁪 过 过点 【分析】设tan ，tan ，由图得 䁟 ，可判断A正误；根据图像和导数的几何意点 䁪 点cos 所以函数 过 的图象在 䁪处切线斜率为-1，倾斜角为。 义得 过 ，可判断C正误；结合图像和导数的几何过点 䁟 过 ，可判断B正误；设쳌点 䁪，쳌 ， 过 䁟 故答案为：。 意义可以判断D的正误。19．已知 ＞䁪， ＞䁪，直线 与曲线 点 点相切，则下列不等式成立的是（）【分析】利用已知条件结合导数的几何意义求出函数在切点处的切线的斜率，再结合直线的斜率与倾斜角的关A． 点B． 点 D． 䁟 䁟C． 系式，进而得出切线的倾斜角。【答案】A,C21．已知函数 过 过䁪 ，则 过䁪 .【知识点】导数的几何意义；基本不等式【答案】-2【解析】【解答】设直线 与曲线 点 点相切的切点为过 䁪， 䁪 ，【知识点】导数的运算【解析】【解答】由函数 过 过䁪 求导得： 过 过䁪 ，当 䁪时， 过䁪 过䁪 点，由 点 点求导得： 点，则有 䁪 点 点，解得 䁪 点，解得 过䁪 点，因此， 䁪 点 ，即 点，而 ＞䁪， ＞䁪，因此， 过 ，所以 过䁪 .点点 点点对于A， 过 䁟，当且仅当 时取“=”，A符合题意；故答案为：-2 点 点 点对于B， 过 过 䁟，当且仅当 ，即 时取“=”， 【分析】求出导函数，然后令x=0，即可求出f'(0)，可得 ，进而求出 过䁪 的值.B不正确；22．已知 过 点（ 为自然对数的底数）， 过 ln 点，请写出 过 与 过 的一条公切线的方对于C，因过 过 过 ，则有过 ，即 ， 程．n【答案】y=rx-1或y=x【分析】根据函数的单调性，切线的斜率以及函数解析式的形式求出满足条件的函数的解析式即可.【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程24．某地在20年间经济高质量增长，GDP的值 （单位，亿元）与时间 （单位：年）之间的关系为 过 䁪过点 点䁪䁖 ，其中 䁪为 䁪时的 值.假定 䁪 ，那么在 点䁪时，GDP增长的速度大约是.（单位：【解析】【解答】设公切线与 过 相切于点过 ， 点 ，与 过 相切于点过݈，ln݈ 点 ，亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：点.点点䁪 .쳌 ，当 取很小的正数时，ln过点 过 ， 过 点， 公切线斜率 点； ݈【答案】0.52 点 公切线方程为： 点 过 或 ln݈ 点 ݈过 ݈ ，【知识点】变化的快慢与变化率整理可得： 过 点 点或 点【解析】【解答】由题可知 过 过点 点䁪䁖 点.点 ， ln݈，݈所以 过 点.点 ln点.点， 点 ln݈ ݈，即过 点 点 ln݈，所以 过点䁪 点.点点䁪ln点.点 .쳌 䁪.点 䁪.쳌点䁟 䁪.쳌 ，过 点 点 ln݈即GDP增长的速度大约是0.52.. 过 点 点 过 点 过 点 䁪，解得： 点或 䁪，故答案为：0.52. 公切线方程为：y=rx-1或y=x。故答案为：y=rx-1或y=x。【分析】由题可得GDP增长的速度为 过 点.点 ln点.点，进而即得.25．已知直线l是曲线 点与 ln 点的公共切线，则l的方程为.【分析】利用已知条件结合求导的方法求函数在切点处的切线方程的方法和公切线的定义，进而求出两函数f(x)【答案】y=ex-1或y=x和g(x)的一条公切线方程。【知识点】导数的几何意义23．已知函数 过 ，写出一个同时满足下列两个条件【解析】【解答】设 与曲线 点相切于点 过 ， 点 ，与曲线 ݈ 点相切于点 过 ， ݈ 1），的 过 ：.①在[点， 上单调递减；②曲线 过 过 点 存在斜率为则 点 ݈ ，整理得过 点 过 点 䁪，解得 点或 䁪，-1的切线. 【答案】 过 （答案不唯一）当 点时， 的方程为 点；当 䁪时， 的方程为 .【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性故答案为：y=ex-1或y=x.【解析】【解答】若 过 同时满足所给的两个条件，则 过 䁪对 [点， 恒成立，解得：【分析】设出切点坐标，求解切线方程，利用两条曲线的切线方程相同，转化求解出 的方程. 过 min，即 ，26．已知函数 过 ln ，则 过 在 点处切线斜率为． 点且 过 点在[点， 上有解，即 在[点， 上有解，由函数的单调性可解得：【答案】2 点【知识点】导数的几何意义 点. 【解析】【解答】 点 点 过 点， 过点 点 .所以点 . 点 故答案为：2则 过 （答案不唯一，只要 过 满足 过 （点 即可） 故答案为： 过 【分析】求出原函数的导数，得到函数在 点处的导数值，即可得答案。n过 过 过 点 过 点 过 27．若曲线 ln过 点 在点过点，䁟ln 处的切线与直线 平行，故答案为 。 ln 则 .【答案】 【分析】利用已知条件设出切点坐标，再利用求导的方法求出曲线在切点处的切线方程，再利用 ， 得出两切线的斜率互为相反数，再结合两点求斜率公式，进而得出实数a的值。【知识点】导数的几何意义；导数的运算 【解析】【解答】由题意知，令 过 ，则29．已知倾斜角为 쳌的直线 与曲线 ݈ 点相切，则直线 的方程是.过 过 过 点 过 点 过 【答案】x-y-2+ln2=0 过 ln过 点 ， 䁟䁪， ln 【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程过点 过点 过点 点 过点 点 过点 过点 ln过 点 䁟ln ，点 ln点 【解析】【解答】因为直线 的倾斜角为 쳌，所以点过点，䁟ln 在曲线 过 上，所以直线 的斜率为1，[过 过 过 点 过 点 过 过 쳌 쳌 点쳌 点 䁪， 点 点将曲线 ݈ 点求导， [过 过 过 点 过 点 过 点 过 쳌 点쳌 䁪 쳌 䁟 点 点 点 ， 点 得 ，过 䁟䁪 ，点 过 ln ，过 ln 过 ， 点 点 点 点 令 点，可得 ， 点 [ ln过 点 点 点 点 ，所以切点坐标为过 ，ln ， 点 过 䁪 所以 过点 ，过 所以直线 ： ln ，又曲线在点过点，䁟ln 处的切线与直线 平行，即x-y-2+ln2=0，所以 .故答案为：x-y-2+ln2=0. ，得 故答案为： . 【分析】由倾斜角为 쳌 可知，直线 的斜率为1，将曲线 ݈ 点求导，令导数等于1，可求切点 坐标，再用点斜式方程写出直线 即可.【分析】令y=f(x)，将x=1代入f(x)可知点过点，䁟ln 在曲线y=f(x)上，利用求导公式和运算法则求出f'(1)=-3， 30．已知函数 过 （e为自然对数的底数），过点过䁪， 作曲线 过 的切线有且只有两条，则实数 结合题意可得 ，即可解得a的值. .28．过点 过 点，䁪 引曲线 ： 的两条切线，这两条切线与 轴分别交于 ， 两点，若 【答案】 ，则 ．【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性 【答案】 䁪 点 【解析】【解答】设切点为过 䁪， ，由 过 可得 过 ， 䁪 【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程， 䁪 处的切线的斜率为 点 䁪所以在点过 䁪 䁪过 䁪 ， 䁪【解析】【解答】设切点坐标为过 ， ， ， ，即 䁪， 点 䁪点 䁪所以切线为： 过 䁪 ， 䁪 䁪解得t=0或t= ， 两切线的斜率互为相反数，即2a+6 过 䁪，解得 。 n因为切线过点过䁪， ，所以 䁪点 䁪(1)=1，进而可求出f(x)的解析式，进而得出f(2)的值. 过 䁪 ， 䁪 䁪 32．若曲线 过 点过 䁪 在点过 点， 过 点 处的切线斜率为2，则 ．即 䁪， 䁪【答案】-2设 过 ， 过 ，过 【知识点】导数的几何意义；导数的运算由 过 䁟䁪可得䁪 ，由 过 䁪可得： 䁪或 䁟 ， 过 点 ，解得： ．【解析】【解答】∵ 过 ，∴ 过 点 所以 过 在过 ，䁪 和过 ， 上单调递减，在过䁪， 上单调增， 故答案为：-2． 过䁪 䁪， 过 ，当x趋近于 时， 过 趋近于0， 若只能作两条切线，则 与 过 图象有两个交点，【分析】由导数的几何意义即可求解。 四、解答题 在同一坐标系中作出 与 过 的图象，如图所示： 33．定义在过 ， 上的函数 过 过 䁫ݔ݈ . 由图知： . （1）当 时，求曲线 过 在点过，䁪 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积； 故答案为： （2）将 过 的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列 ݈ ，若 过 点 过 䁪，求 的值. 䁫ݔ݈ ， 过 䁫ݔ݈ 过 香䁫 ，故 点【答案】（1）解：当 时， 过 过 过 䁫ݔ݈ . ， 䁪 ，得到切线方程 䁪点 䁪 䁪 【分析】设切点为过 䁪 䁪 䁪 䁪过 䁪 ，再由切线过过䁪， ，得到 䁪 ，䁪 处的切线的斜率为 点曲线 过 在点过过 ， 点 䁪 过 䁪 ， 䁪，由题意转化为 与 过 图象有两交点求解. 点 䁪 䁪 曲线 过 在点过，䁪 处的切线方程为 过 ， 31．已知函数 过 过点 ，则 过 ． 令 䁪， .所以切线与 轴的交点过䁪， .点 点 【答案】2点 【知识点】导数的运算此时所求三角形的面积为 点 点 .【解析】【解答】解：因为 过 过点 ，（2）解： 过 䁫ݔ݈ 过 香䁫 所以 过 过点 ，当 时， 过 香䁫 过 ݈ . 所以 过点 过点 ， 由函数 ݈ 在区间过 ， 上递增，且值域为 ， 解得 过点 点， 所以 过 ，故存在唯一 䁪 过 ， ，使得 ݈ 䁪 䁪 .所以 过 ，此时当 时， 䁪过 䁪， 过 单调递减； 故答案为：2 当 䁪 时， 过 䁟䁪， 过 单调递增，因此 点 䁪. 同理，存在唯一 ' 过 ， ，使得 ݈ ' ' .【分析】求出导函数为f′(x)䁪 䁪䁪=3x2−2f′此时当 '时， 䁪过 䁟䁪， 过 单调递增；(1)x，然后即可求出f′当 ' 时， '.䁪 过 䁪， 过 单调递减，因此 䁪n由 过 䁪， ݈ ， 过 䁫ݔ݈ 点 香䁫 点.因为 过䁪 䁪 点 sin䁪 cos䁪 䁪，点点点点 香䁫 点点 香䁫 点 䁫ݔ݈ 点所以使 过 䁪对任意 [䁪， 恒成立，同理： 过 香䁫 . 香䁫 香䁫 则至少满足 过䁪 䁪，即点 䁪，解得 点.点由 过 点 过 䁪，整理得：过 香䁫 点 香䁫 过点 香䁫 䁪.点 香䁫 下证明当 点时， 过 䁪恒成立， 又 点 ，故 香䁫 点 香䁫 点，则有 香䁫 点 香䁫 香䁫过 因为 [䁪， ，所以sin 䁪， 由 ，故 点 或 点 过 .因为 点，所以 过 点 sin cos .又 点 ݈ 点 ݈ ，当 点 时，不满足，舍去.记 过 点 sin cos ，则 过 点 cos sin 点 sin过 . 所以 过 ，即 ，则 点 ݈ 点 ݈ .点 点 当 过䁪， 时， 过 䁪； 综上所述， . 当 过， 时， 过 䁟䁪. 【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；正切函数的单调性 所以函数 过 在[䁪， 上单调递减，在过， 上单调递增. 【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义及点斜式，再结合三角形的面积公式即可求解； （2）根据已知条件及正切函数的性质，利用导数法求函数的极值及函数存在性定理，再根据零点范围及三角因为 过䁪 䁪， 过 点 䁪，函数相等的角的关系即可求解.所以 过 在[䁪， 上的最大值为 过䁪 䁪. 点 34．已知函数 过 cos sin ． 即 过 过 点 sin cos 䁪在[䁪， 上恒成立. （1）当 点时，求曲线 过 在点过䁪， 过䁪 处的切线方程；所以a的取值范围为[点， . （2）若函数 过 在[䁪， 上单调递减，求a的取值范围．【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用【答案】（1）解：当 点时， 过 点 【解析】【分析】（1）将 点代入得 过 点 cos sin cos sin ，进而求的切点的坐标，再利用导数的几 点 何意义及点斜式即可求解； 过䁪 䁪 䁪 cos䁪 sin䁪 点，所以切点为过䁪， 点 ， 过 点 sin cos ，∴ 过䁪 䁪 点 sin䁪 cos䁪 䁪，（2）根据已知条件将问题转化为 过 䁪对任意 [䁪， 恒成立，进而转化为求函数最值问题，设 过 所以曲线 过 在点过䁪， 过䁪 处的切线的斜率为 过䁪 䁪， 过 点 sin cos ，利用导数法求函数的最值即可求解.35．已知函数 过 e ݈ 过 䁪 ．当m＝1时，曲线 过 在点过䁪， 过䁪 处的切线与直线x－y＋1＝0所以曲线 过 在点过䁪， 点 处的切线的斜率切线方程为垂直． 过 点 䁪 过 䁪 ，即 点 䁪.（1）若 过 的最小值是1，求m的值；点 （2）解：由 过 cos sin ，得 （2）若 过 点， 过 点 ， 过 过 过 点 是函数 过 图象上任意两点，设直线AB的斜率为k．证明：方 过 点 sin cos 程 过 在过 点， 上有唯一实数根．因为函数 过 在[䁪， 上单调递减，可得 过 䁪对任意 [䁪， 恒成立， 【答案】（1）解：由题知， 过 的定义域为R， 过 e ݈，设 过 过 点 sin cos ，则 过 点 cos sin .当m＝1时， 过 e ݈，n∵当m＝1时，曲线 过 在点过䁪， 过䁪 处的切线与直线x－y＋1＝0垂直【解析】【分析】（1）由题知函数 过 的定义域为R，再利用分类讨论的方法和导数的几何意义以及两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出n的值，从而得出 过 e ，再利用分类讨论的方法和求导的方法判断函∴n＋1＝－1，∴n＝－2，∴ 过 e ， 过 e 点 数的单调性，进而得出函数的最小值，再利用 过䁪 点结合当 䁪时， 过 䁟点，所以ln 䁪，进而结当 䁪时， 过 䁪， 过 在过 ， 上单调递减 合指数与对数互化公式得出实数m的值。又 过䁪 点，∴当 䁟䁪时， 过 点，不合题意． e e点 点 （2）利用已知条件结合两点求斜率公式得出 ，再结合导数的运算法则得出 过 当 䁟䁪时，令 过 䁪，解得 ln， 点 e e点点 点 过 e ，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合函数的当 䁟ln时， 过 䁟䁪， 过 单调递增；当 ln时， 过 䁪， 过 单调递减， 点 点 零点与方程的根的等价关系，再利用函数 过 在过 点， 上有唯一零点，从而证出方程 过 在过 点， 上∴ 过 min 过 ln 点有唯一实数根。点 又 过䁪 点，当 䁪时， 过 䁟点，∴ln 䁪，∴m＝2 36．已知函数 过 过 点 过 过 点 e e点（2）证明： （1）若函数 过 的图象在区间[0，1]上存在斜率为零的切线，求实数a的取值范围； 点 点 令 过 过 e e e点，则 过 e 䁟䁪（2）当 点时，判断函数 过 零点的个数，并说明理由. 点【答案】（1）解：依题意，方程 过 过 点 点 䁪在区间[0，1]上有解，即 点 在区间[0，∴ 过 单调递增 1]上有解，记 过 点 ，则函数 过 区间[0，1]上单调增，其值域为[䁪， 点又 过 e 点e e点 e点[e 过 点 过 点 ， 点 点 点 点 故实数a的取值范围是[䁪， 点 过 e e e点 e [e 过 点 过 点 ， . 点 点 点 点令 过 e 点，则 过 e 点（2）解： 过 䁪 点 䁪过 点 令 过 䁪，解得x＝0，令 过 点 点 点 点∴当 䁟䁪时， 过 䁟䁪， 过 单调递增，当 䁪时， 过 䁪， 过 单调递减，在过 ，点 上单调递增，在（1，∞）上单调递增，∴ 过 min 过䁪 䁪，∴当 䁪时，e 点䁟䁪点点∵ 䁪， 点 过 <0， 过䁪 䁟䁪∴ 过 点 䁪， 过 点 䁪 过点.点 点.点 点 䁪， 过 䁟䁪，根据零点存在性定理可知，∴e 过 点 过 点 点䁟䁪，e 过 点 过 点 点䁟䁪 过 在过 ，点 ，过点 上各有一个零点，即原函数有2个零点. e点e 又䁟䁪，䁟䁪 点 点【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理∴ 过 点 䁪， 过 䁟䁪 【解析】【分析】（1）由题意可将问题转换成 点 在区间[0，1]上有解，构造函数 过 点 ，∴ 过 在过 点， 上有唯一零点求导，确定单调性，求得值域，即可求解；∴方程 过 在过 （2）由题意，问题转换成 点 点，求导确定单调性，借助点， 上有唯一实数根． 点 䁪过 点 解的个数，构造函数 过 点【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；直线的一般式方程与零点存在性定理即可求解。直线的垂直关系；函数的零点与方程根的关系37．已知函数 过 ln ． n点点 点 （1）求曲线 过 在点过， 过 处的切线方程；（2）解：因为 过 ，令 过 点过 䁟点 . 过 点 （2）设 过 过 有两个不同的零点 ，求证： 䁟 ．①当 䁪时，对任意的 䁟点， 过 点 䁪恒成立，则 过 䁪，点， 点 【答案】（1）解：由题意， 过 点 ln ，则 点 ， 过点此时函数 过 在过点， 上单调递减，没有最大值；过 ， 点点点②当䁪 点时， 过 点在过点， 上单调递减，则 过 过点 䁪，则 过 䁪，所以函数 过 在点过， 过 处的切线方程为 过 过 ， 即 䁪.此时函数 过 在过点， 上单调递减，没有最大值；（2）证明：设 点䁟 䁟䁪，由题意， 过 点 过 䁪，③当 䁟点时，方程 点 䁪的两根分别为 点， 点，点 所以ln 点 点 䁪，ln 䁪，由 䁟点可知䁪 点 点 ，列表如下：可得ln 点 ln 过 点 ，ln 点 ln 过 点 ， 过点， 点 点过 点， 要证明 点 䁟 ，只需证ln 点 ln 䁟 ，即 过 点 䁟 ， 过 0 ln 点 ln ln 点 ln 因为 ，所以可转化为证明䁟， 点 点 点 过 增极大值减 点 过 点 点 ，则 䁟点，即证ln 䁟 过 点 即ln 䁟 ，令 点，所以函数 过 在 点处取得最大值， 点 过 点 点 过 点 综上所述，实数 的取值范围是过点， .令 过 ln 过 䁟点 ，则 过 䁟䁪， 点 过 点 过 点 过点 点 【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上所以函数 过 在过点， 上是增函数，所以 过 䁟ln点 䁪，点 点某点切线方程 过 点 即ln 䁟得证，所以 点 䁟 . 点【解析】【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值 （2）求出导函数，令 过 点过 䁟点 .通过 䁪，䁪 点， 䁟点讨论二次函数的正负区'点点【解析】【分析】（1）求导，计算 过 和 过 ，再由点斜式代入写出切线方程；间，从而确定f(x)的单调性，从而解决问题。（2）设 点䁟 䁟䁪，由题意得ln 点 ln 过 点 ，ln 点 ln 过 点 ，将证明 点 䁟 转化为39．已知函数 过 过 点 ln 点 过 点 点 ，即证ln 䁟 过 点 过 点 证明ln 䁟 ，令 点，令 过 ln 点过 䁟点 ，求导判断单调性即可证（1）若 点，求曲线 过 在 点处的切线方程； 点 明.（2）若 过 䁪在（1， ）上恒成立，求a的值. 点 点 38．已知函数 过 ．【答案】（1）解：因为 过 ݈ ，所以 过 点 ， 过点 ， 点 又 过点 䁪，所以曲线 过 在 点处的切线方程为 （1）若曲线 过 在点过 ， 过 处的切线斜率为 点，求 的值；（2）解： 过 定义域为过䁪， ，（2）若 过 在过点， 上有最大值，求 的取值范围. 点 ln 点 过 点 过 因为 过 过 ，所以 过 【答案】（1）解：函数 过 的定义域为 点 ， 点若 䁪，则 过 䁟䁪恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增. 点 过 点 过 ，过 点 过 点 故当 过点， 时， 过 䁟 过点 䁪，不合题意，舍去； 쳌由已知可得 过 点，解得 点. n点点 点若 点 䁪，则䁪 点 ，所以当 过䁪，， 过 ，， 时， 过 䁪；当 过 ， 点点时： 过 䁟䁪，则f（x）的单调递减区间为过䁪， 和过 ， ，单调递增区间为过 ，， 点故当 过点， 时， 过 䁟 过点 䁪，不合题意； 过 点 若 点，则 过 䁪，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减. 故当 过点， 时， 过 过点 䁪，符合题意；点点 点若 点，则䁪 点 ，所以当 过䁪， 过 ， 时， 过 䁪：当 过 ，， 时， 点点 过 䁟䁪，则f（x）的单调递减区间为过䁪， 和过 ， ，单调递增区间为过 ， 故当 过点， ， 过 䁟 过点 䁪，不合题意综上所述： 点【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程；（2）求定义域，求导，对 进行分类讨论，求解不同取值范围下函数的单调性，进而确定符合题意的a的值.
4.1导数的概念及其运算——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）解析版
2023-02-25
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